미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선 삼각형 넓이 최대

문제

원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 rr, 4인 두 원 C1C _{1}, C2C _{2}가 있다. 원 C2C _{2} 위의 점 PP에서 원 C1C _{1}에 그은 두 접선의 접점을 각각 A,BA , B라 할 때, 삼각형 PABPAB의 넓이의 최댓값은? (단, 0<r<40 < r < 4 이다.) [4점]

①3\displaystyle \sqrt{3}②23\displaystyle 2 \sqrt{3}③33\displaystyle 3 \sqrt{3}④43\displaystyle 4 \sqrt{3}⑤53\displaystyle 5 \sqrt{3}

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③

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해설

[출제의도] 미분활용 문제해결하기 OP‾=4,OA‾=r\displaystyle {\overline{OP}} = 4 , {\overline{OA}} = r이므로 AP‾=16−r2\displaystyle {\overline{AP}} = \sqrt{16 - r ^{2}} cos⁡(∠OPA)=16−r24\displaystyle \cos ( \angle OPA ) = \frac{\sqrt{16 - r ^{2}}}{4}, sin⁡(∠OPA)=r4\displaystyle \sin ( \angle OPA ) = \frac{r}{4} OP‾\displaystyle {\overline{OP}}와 AB‾\displaystyle {\overline{AB}}의 교점을 MM이라 하면 PM‾=AP‾×cos⁡(∠OPA)=16−r24\displaystyle {\overline{PM}} = {\overline{AP}} \times \cos ( \angle OPA ) = \frac{16 - r ^{2}}{4} AM‾=AP‾×sin⁡(∠OPA)=16−r2×r4\displaystyle {\overline{AM}} = {\overline{AP}} \times \sin ( \angle OPA ) = \sqrt{16 - r ^{2}} \times \frac{r}{4} (삼각형 PABPAB의 넓이)=PM‾×AM‾=116r(16−r2)32\displaystyle {\overline{PM}} \times {\overline{AM}} = \frac{1}{16} r ( 16 - r ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} 삼각형 PABPAB의 넓이를 S(r)S ( r )이라 하면 S(r)=116r(16−r2)32\displaystyle S ( r ) = \frac{1}{16} r ( 16 - r ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} S′(r)=1416−r2(4−r2)\displaystyle S' ( r ) = \frac{1}{4} \sqrt{16 - r ^{2}} ( 4 - r ^{2} ) 0<r<40 < r < 4이므로 16−r2>0\displaystyle \sqrt{16 - r ^{2}} > 0 이고, S′(r)=0S' ( r ) = 0에서 r=2r = 2 0<r<40 < r < 4에서 S(r)S ( r )의 증가와 감소를 표로 나타내면

rr0⋯\cdots2⋯\cdots4
S′(r)S' ( r )++++0--
S(r)S ( r )↗\nearrow극대↘\searrow

즉, r=2r = 2에서 극댓값 S(2)=33\displaystyle S ( 2 ) = 3 \sqrt{3} 따라서 최댓값은 33\displaystyle 3 \sqrt{3}

태그

#최대최소#원의 접선

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