접선 사잇각 극한

[출제의도] 두 직선이 이루는 예각의 크기를 이용하여 함수의 극한값을 구할 수 있는가 $y = \sin x$에서 $y' = \cos x$이므로 곡선 $y = \sin x$ 위의 점 ${\mathrm{P}} \left( t , \sin t \right)$에서의 접선의 기울기는 $\cos t$이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$에서의 접선과 점 $\mathrm{P}$를 지나고 기울기가 $- 1$인 직선이 이루는 예각의 크기가 $\theta$이므로 $\tan \theta$$\displaystyle = \left| \frac{\cos t - \left( - 1 \right)}{1 + \cos t {\times} \left( - 1 \right)} \right|$$\displaystyle = \left| \frac{\cos t + 1}{1 - \cos t} \right|$ 그런데 $0 < t < \pi$이므로 $\tan \theta$$\displaystyle = \frac{\cos t + 1}{1 - \cos t}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \pi -} {} \frac{\tan \theta}{\left( \pi - t \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \pi -} {} \frac{\frac{\cos t + 1}{1 - \cos t}}{\left( \pi - t \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \pi -} {} \frac{\cos t + 1}{\left( \pi - t \right) ^{2} \left( 1 - \cos t \right)}$ 이므로 $\pi - t = x$라 하면 $t \rightarrow \pi -$일 때 $x \rightarrow 0 +$이고 $\cos t = \cos \left( \pi - x \right)$$= \mathit{-} \cos x$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \pi -} {} \frac{\tan \theta}{\left( \pi - t \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \pi -} {} \frac{\cos t + 1}{\left( \pi - t \right) ^{2} \left( 1 - \cos t \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{1 - \cos x}{x ^{2} \left( 1 + \cos x \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{1 - \cos ^{2} x}{x ^{2} \left( 1 + \cos x \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \frac{\sin ^{2} x}{x ^{2} \left( 1 + \cos x \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} \left\{ \left( \frac{\sin x}{x} \right) ^{2} {\times} \frac{1}{\left( 1 + \cos x \right) ^{2}} \right\}$ $\displaystyle = 1 ^{2} {\times} \frac{1}{2 ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{1}{4}$