접선 조건으로 정하는 a+M

함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 $x = a$에서 연속이어야 하므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {} f \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow a -} {} f \left( x \right)$$= f \left( a \right)$ $- \left( a + 1 \right) ^{2} \left( a - 3 \right) = 0$ $\therefore$ $a = - 1$ 또는 $a = 3$ (ⅰ) $a = - 1$일 때 $\displaystyle f \left( x \right) = \begin{cases} - \left( x + 1 \right) ^{2} \left( x - 3 \right) & \left( x \leq - 1 \right) \\ 0 & \left( x > - 1 \right) \end{cases}$ $x < - 1$에서 $f' \left( x \right) = - \left( x + 1 \right) \left( 3 x - 5 \right) < 0$이므로 함수 $f \left( x \right)$는 감소하고, $x > - 1$에서는 $f \left( x \right) = 0$이다.

즉 $y = f \left( x \right)$의 그래프 위의 서로 다른 두 점을 잇는 직선의 기울기는 항상 $0$ 이하이다. 따라서 기울기가 양수인 직선은 $y = f \left( x \right)$의 그래프와 최대 한 점에서만 만나므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $a = 3$일 때 $\displaystyle f \left( x \right) = \begin{cases} - \left( x + 1 \right) ^{2} \left( x - 3 \right) & \left( x \leq 3 \right) \\ 0 & \left( x > 3 \right) \end{cases}$ $f' \left( x \right) = - \left( x + 1 \right) \left( 3 x - 5 \right)$이므로 $\displaystyle - 1 < x < \frac{5}{3}$에서 $f' \left( x \right) > 0$이다.

따라서 기울기가 양수인 접선이 존재하므로, 기울기가 양수이고 그래프와 두 점 이상에서 만나는 직선이 존재한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 $a = 3$이므로 $\displaystyle f \left( x \right) = \begin{cases} - \left( x + 1 \right) ^{2} \left( x - 3 \right) & \left( x \leq 3 \right) \\ 0 & \left( x > 3 \right) \end{cases}$ 이때 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) \leq f \left( x \right)$, 즉 $- 3 x + k \leq f \left( x \right)$가 성립해야 하려면 직선 $y = - 3 x + k$가 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프의 아래쪽에 있거나 접해야 한다. 즉 $k$가 최댓값을 가질 때, 직선 $y = - 3 x + k$는 $y = f \left( x \right)$의 그래프에 접하므로 그 접점의 $x$좌표를 $t$라 하면 $f' \left( t \right) = - 3$ $x < 3$일 때 $f' \left( x \right) = - \left( x + 1 \right) \left( 3 x - 5 \right)$이므로 $- \left( t + 1 \right) \left( 3 t - 5 \right) = - 3$, $3 t ^{2} - 2 t - 5 = 3$ $3 t ^{2} - 2 t - 8 = 0$, $\left( 3 t + 4 \right) \left( t - 2 \right) = 0$ $\therefore$ $\displaystyle t = - \frac{4}{3}$ 또는 $t = 2$

직선 $y = - 3 x + k$가 $y = f \left( x \right)$의 그래프보다 항상 아래쪽에 있으려면 위의 그림에서 $\displaystyle t = - \frac{4}{3}$ 즉 접점의 좌표는 $\displaystyle \left( - \frac{4}{3} , f \left( - \frac{4}{3} \right) \right)$이고, $\displaystyle f \left( - \frac{4}{3} \right) = - \left( - \frac{4}{3} + 1 \right) ^{2} \left( - \frac{4}{3} - 3 \right) = \frac{13}{27}$ 이므로 접선의 방정식은 $\displaystyle y - \frac{13}{27} = - 3 \left( x + \frac{4}{3} \right)$ $\therefore$ $\displaystyle y = - 3 x - \frac{95}{27}$ 이 직선의 $y$절편이 $k$의 최댓값이므로 $\displaystyle M = - \frac{95}{27}$ $\therefore$ $\displaystyle a + M = 3 + \left( - \frac{95}{27} \right) = \frac{81 - 95}{27} = - \frac{14}{27}$