접선 조건 계수 함수 미분

양의 실수 $t$와 상수 $k$$( k > 0 )$에 대하여 $p ( x ) = ( ax + b ) e ^{x-k}$, $q ( x ) = tx$라 하면 $p' ( x ) = a e ^{x-k} + ( ax + b ) e ^{x-k}$$= ( ax + a + b ) e ^{x-k}$ $q' ( x ) = t$ 두 곡선이 점 $\left( t , t ^{2} \right)$에서 접하므로 $p ( t ) = q ( t )$에서 $( at + b ) e ^{t-k} = t ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $p' ( t ) = q' ( t )$에서 $( at + a + b ) e ^{t-k} = t$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉡$-$㉠을 하면 $a e ^{t-k} = t - t ^{2}$ 이때 $a = f ( t )$이므로 $f ( t ) e ^{t-k} = t - t ^{2}$ $\therefore$$f ( t ) = \left( t - t ^{2} \right) e ^{k-t}$ 이 식에 $t = k$를 대입하면 $f ( k ) = \mathit{-} 6$에서 $- 6 = k - k ^{2}$, $k ^{2} - k - 6 = 0$ $( k - 3 ) ( k + 2 ) = 0$ $\therefore$$k = 3$ $k = 3$과 $b = g ( t )$를 ㉠에 대입하면 $\left\{ f ( t ) t + g ( t ) \right\} e ^{t-3} = t ^{2}$ $\left\{ \left( t - t ^{2} \right) t e ^{3-t} + g ( t ) \right\} e ^{t-3} = t ^{2}$ $\left( t ^{2} - t ^{3} \right) + g ( t ) e ^{t-3} = t ^{2}$, $g ( t ) = t ^{3} e ^{3-t}$ $\therefore$$g' ( t ) = 3 t ^{2} e ^{3-t} - t ^{3} e ^{3-t} = t ^{2} \left( 3 - t \right) e ^{3-t}$ $\therefore$$g' ( 3 ) = 0$