미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

접선 조건 곱 미분

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f ( x )$ 에 대하여 곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $\left( 4 , f \left( 4 \right) \right)$ 에서의 접선 $l$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 직선 $l$ 은 제 $2$ 사분면을 지나지 않는다. (나) 직선 $l$ 과 $x$ 축 및 $y$ 축으로 둘러싸인 도형은 넓이가 $2$ 인 직각이등변삼각형이다.

함수 $g \left( x \right) = xf \left( 2 x \right)$ 에 대하여 $g' \left( 2 \right)$ 의 값은? [4점] ① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$

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④

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해설

[출제의도] 접선의 방정식을 이용하여 합성함수의 미분계수를 구한다. 조건 (가)에서 직선 $l$ 이 제 $2$ 사분면을 지나지 않고, 조건 (나)에서 직선 $l$ 과 $x$ 축 및 $y$ 축으로 둘러싸인 도형인 직각이등변삼각형의 넓이가 $2$ 이므로 아래 그림과 같이 직선 $l$ 의 $x$ 절편과 $y$ 절편은 각각 $2$ , $- 2$ 이다.

함수 $y = f ( x )$ 위의 점 $\left( 4 , f ( 4 ) \right)$ 에서의 접선 $l$ 은 기울기가 $1$ 이고, 점 $\left( 2 , 0 \right)$ 을 지나므로 직선 $l$ 의 방정식은 $y = x - 2$ 이다. 따라서 $f ( 4 ) = 2$ , $f' ( 4 ) = 1$ 이다. $g ( x ) = xf ( 2 x )$ 에서 $g' ( x )$ $= f ( 2 x ) + 2 xf' ( 2 x )$ 이므로 $g' ( 2 )$ $= f ( 4 ) + 4 f' ( 4 )$ $= 2 + 4$ $= 6$

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