미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출기본 문제 (3점 중반)

접선 기울기와 부정적분

문제

모든 실수 tt에 대하여 다항함수 y=f(x)y = f ( x )의 그래프 위의 점 (t,f(t))( t , f ( t ) )에서의 접선의 기울기가 −6t2+2t- 6 t ^{2} + 2 t이다. 곡선 y=f(x)y = f ( x )가 점 (1,1)( 1 , 1 )을 지날 때, f(−1)f ( - 1 )의 값은? [3점] ①1\mathrm{1}②2\mathrm{2}③3\mathrm{3}④4\mathrm{4}⑤5\mathrm{5}

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⑤

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해설

f′(t)=−6t2+2tf' ( t ) = \mathit{-} 6 t ^{2} + 2 t이므로 f(t)f ( t )=∫(−6t2+2t)dt\displaystyle = \int \left( - 6 t ^{2} + 2 t \right) dt =−2t3+t2+C= \mathit{-} 2 t ^{3} + t ^{2} + C (CC는 적분상수) 곡선 y=f(x)y = f ( x )가 점 (1,1)( 1 , 1 )을 지나므로 f(1)=1f ( 1 ) = 1 1=−2+1+C1 = \mathit{-} 2 + 1 + C, C=2C = 2 ∴\thereforef(x)=−2x3+x2+2f ( x ) = \mathit{-} 2 x ^{3} + x ^{2} + 2 ∴\thereforef(−1)=5f ( - 1 ) = 5

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#부정적분#접선 기울기

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