미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

접선 기울기의 정적분

문제

포물선 y=x2y = x ^{2} 위의 한 점 P(x,y)\mathrm{P} ( \mathit{x} , y )에서 접선이 xx축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 θ(x)\theta ( x )라 할 때, ∫01tan⁡θ(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{1} \tan \theta ( x ) dx의 값은? [2점]

①33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}⑤11

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⑤

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해설

포물선 y=x2y = x ^{2} 위의 한 점 P(x,y)P \left( x , y \right)에서의 접선이 xx축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 θ(x)\theta \left( x \right)이므로 tan⁡θ(x)\tan \theta \left( x \right)는 이 접선의 기울기가 된다. y=x2y = x ^{2}의 도함수는 y′=2xy' = 2 x이므로 tan⁡θ(x)=2x\tan \theta \left( x \right) = 2 x ∴∫01tan⁡θ(x)dx=∫012xdx=[x2]01=12−02=1\displaystyle \therefore \int _{0} ^{1} \tan \theta \left( x \right) dx = \int _{0} ^{1} 2 x dx = {{\left[ x ^{2} \right]} _{0}} ^{1} = 1 ^{2} - 0 ^{2} = 1

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#접선의 기울기#정적분

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