접선 기울기 곱 보기

[출제의도] 함수의 그래프의 개형 추론하기 점 $\mathrm{P}$에서 원 $x ^{2} + y ^{2} = 9$에 그은 접선의 기울기를 $m$이라 하면 접선의 방정식은 $y = mx - mt + 4$ 원 $x ^{2} + y ^{2} = 9$의 중심에서 접선까지의 거리는 반지름의 길이와 같다. $\displaystyle \frac{\left| mt - 4 \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 3$ $m$에 대한 이차방정식 $\left( t ^{2} - 9 \right) m ^{2} - 8 tm + 7 = 0$은 서로 다른 두 실근을 가지므로 두 접선의 기울기의 곱은 $\displaystyle f \left( t \right) = \frac{7}{t ^{2} - 9}$이다. ㄱ. $\displaystyle f \left( \sqrt{2} \right) = \mathit{-} 1$ (참) ㄴ. $\displaystyle f' \left( t \right) = \mathit{-} \frac{14 t}{\left( t ^{2} - 9 \right) ^{2}}$, $\displaystyle f'' \left( t \right) = \frac{42 \left( t ^{2} + 3 \right)}{\left( t ^{2} - 9 \right) ^{3}}$이므로 열린 구간 $\left( - 3 , 3 \right)$에서 $f'' \left( t \right) < 0$ (참) ㄷ. $9 f \left( x \right) = 3 ^{x + 2} - 7$, $\displaystyle f \left( x \right) = 3 ^{x} - \frac{7}{9}$ 방정식 $\displaystyle f \left( x \right) = 3 ^{x} - \frac{7}{9}$의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수 $y = f \left( x \right)$, $\displaystyle y = 3 ^{x} - \frac{7}{9}$의 그래프가 만나는 점의 개수와 같다. 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - \infty} {f \left( x \right) = \mathit{0}}$,$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3 -} {f \left( x \right) = \mathit{\infty}}$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3 +} {f \left( x \right) = \mathit{-} \infty}$,$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {f \left( x \right) = \mathit{-} \infty}$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 +} {f \left( x \right) = \mathit{\infty}}$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {f \left( x \right) = \mathit{0}}$ 두 함수 $y = f \left( x \right)$와 $\displaystyle y = 3 ^{x} - \frac{7}{9}$의 그래프는 그림과 같다.

따라서 실근의 개수는 $1$이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ