접선 아래 부등식

직선 $y = f' ( t ) ( x - t ) + f ( t )$는 곡선 위의 점 $\mathrm{P}$$( t , f ( t ) )$에서의 접선이므로 접선이 주어진 곡선의 위쪽에 놓이려면 접점은 곡선이 위로 볼록한 부분의 점이다. 그런데 위로 볼록한 부분에 있는 점에서의 접선 중에는 구간 $[ 0 , 2 ]$에서 $y = f ( x )$의 그래프 아래쪽을 지나는 직선이 생길 수 있다. 그러므로 원점에서 그은 접선의 접점과 점 $( 2 , 0 )$에서 그은 접선의 접점의 $x$좌표를 조사하면 된다. $y = x ^{2} ( x - 2 ) ^{2}$에서 $y' = 2 x ( x - 2 ) ^{2} + 2 x ^{2} ( x - 2 )$ $= 4 x ( x - 1 ) ( x - 2 )$ 점 $( a , f ( a ) )$에서의 접선의 방정식은 $y - a ^{2} ( a - 2 ) ^{2} = 4 a ( a - 1 ) ( a - 2 ) ( x - a )$ $x = 0$, $y = 0$을 대입하면 $- a ^{2} ( a - 2 ) ^{2} = - 4 a ^{2} ( a - 1 ) ( a - 2 )$ $\therefore$ $\displaystyle a = \frac{2}{3}$ 한편 곡선 $y = x ^{2} ( x - 2 ) ^{2}$은 직선 $x = 1$에 대하여 대칭이므로 점 $( 2 , 0 )$에서 그은 접선의 접점의 $x$좌표를 $b$라 하면 $\displaystyle \frac{2}{3} + b = 2$에서 $\displaystyle b = \frac{4}{3}$ 따라서 주어진 부등식을 만족시키는 실수 $t$의 값의 범위는 $\displaystyle \frac{2}{3} \leq t \leq \frac{4}{3}$이다. $\therefore$ $\displaystyle 36 pq = 36 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} = 32$