접점과 x절편이 만드는 삼각형의 넓이

접선의 방정식을 $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x + k$, 즉 $x + 2 y - 2 k = 0$ 이라 하면 원의 중심 $( 0 , 0 )$ 과 이 직선 사이의 거리가 반지름의 길이 $\displaystyle 2 \sqrt{5}$ 와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| - 2 k \right|}{\sqrt{5}} = 2 \sqrt{5}$ 에서 $\left| k \right| = 5$ 접점 $\mathrm{P}$ 가 제$1$ 사분면 위에 있으므로 $k = 5$ 이고 접선의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x + 5$ $y = 0$ 을 대입하면 $x = 10$ 이므로 $\mathrm{Q} ( 10 , 0 )$ 접점 $\mathrm{P}$ 는 원점을 지나고 접선에 수직인 직선 $y = 2 x$ 와 접선의 교점이므로 $\displaystyle 2 x = - \frac{1}{2} x + 5$ 에서 $x = 2$, $y = 4$ $\mathrm{P} ( 2 , 4 )$ 따라서 삼각형 $\mathrm{OPQ}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20$