미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

접하는 원의 넓이 극한

문제

그림과 같이 크기가 60∘60 ^\circ인 ∠AOB\mathrm{\angle} AOB의 이등분선 위에 OC‾1=2\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} _{1} = 2인 점 C1\mathrm{C} _{1}을 잡아 점 C1\mathrm{C} _{1}을 중심으로 하고 반직선 OA\mathrm{OA}와 OB\mathrm{OB}에 접하는 원 C1\mathrm{C} _{1}을 그릴 때, 원 C1\mathrm{C} _{1}과 반직선 OA,OB\mathrm{OA} , OB와의 접점을 각각 P1,Q1\mathrm{P} _{1} , Q _{1}이라 하자. 점 C1\mathrm{C} _{1}을 지나고 반직선 OA\mathrm{OA}와 OB\mathrm{OB}에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 C2,\mathrm{C} _{2} , 원 C2\mathrm{C} _{2}와 반직선 OA,OB\mathrm{OA} , OB와의 접점을 각각 P2,Q2\mathrm{P} _{2} , Q _{2}라 하고, 원 C1\mathrm{C} _{1}과 원 C2\mathrm{C} _{2}가 만나는 점을 각각 A1,B1\mathrm{A} _{1} , B _{1}이라 할 때, 사각형 A1C1B1C2\mathrm{A} _{1} C _{1} B _{1} C _{2}의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. 점 C2\mathrm{C} _{2}를 지나고 반직선 OA\mathrm{OA}와 OB\mathrm{OB}에 접하는 두 원 중에서 큰 원의 중심을 C3,\mathrm{C} _{3} , 원 C3\mathrm{C} _{3}과 반직선 OA,OB\mathrm{OA} , OB와의 접점을 각각 P3,\mathrm{P} _{3} , Q3\mathrm{Q} _{3}이라 하고, 원 C2\mathrm{C} _{2}와 원 C3\mathrm{C} _{3}이 만나는 점을 각각 A2,B2\mathrm{A} _{2} , B _{2}라 할 때, 사각형 A2C2B2C3\mathrm{A} _{2} C _{2} B _{2} C _{3}의 넓이를 S2S _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 도형의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn4n+3n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{4 ^{n} + 3 ^{n}}}의 값은? [4점]

①14\displaystyle \frac{1}{4}②22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}③38\displaystyle \frac{3}{8}④34\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}⑤158\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{8}

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⑤

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해설

[출제의도] 무한등비수열의 극한을 이해하고 이를 활용하여 극한값 구하기 △C1OQ1\mathrm{\triangle} C _{1} O Q _{1}에서 ∠C1OQ1=30∘\mathrm{\angle} C _{1} OQ _{1} = 30 ^\circ이고 OC‾1=2\displaystyle \mathrm{\overline{OC}} _{1} = 2이므로 C1Q1‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{C _{1} Q _{1}}} = 1이다. 이 때, 원 Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}}의 반지름의 길이를 rn,r _{n} , 원 Cn+1\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}의 반지름의 길이를 rn+1r _{n+1}이라 하면, r1=1r _{1} = 1이고 sin⁡30∘=rn+1−rnrn+1=12\displaystyle \sin 30 ^\circ = \frac{r _{n+1} - r _{n}}{r _{n+1}} = \frac{1}{2}에서 rn+1=2rnr _{n+1} = 2 r _{n}이므로 Sn+1=4SnS _{n + 1} = 4 S _{n}이 된다. S1=2×△C2C1B1=152\displaystyle S _{1} = 2 \times \mathrm{\triangle} C _{2} C _{1} B _{1} = \frac{\sqrt{15}}{2}이므로 Sn=1524n−1\displaystyle S _{n} = \frac{\sqrt{15}}{2} 4 ^{n-1}이다. 따라서 lim⁡n→∞Sn4n+3n=lim⁡n→∞1584n4n+3n=158\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{4 ^{n} + 3 ^{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\frac{\sqrt{15}}{8} 4 ^{n}}{4 ^{n} + 3 ^{n}}} = \frac{\sqrt{15}}{8}이다.

태그

#등비수열#도형#수열의 극한

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