접하는 원과 기울기 극한

[출제의도] 접선의 성질을 이용하여 수열의 극한에 대한 문제를 해결한다.

점 $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$을 지나고 직선 $l _{n}$에 수직인 직선을 $m _{n}$이라 하면 원 $C _{n}$의 중심은 직선 $m _{n}$ 위에 존재한다. 직선 $m _{n}$은 곡선 $y = x ^{2}$ 위의 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$에서의 접선과 평행하고 $y' = 2 x$이므로 직선 $m _{n}$의 기울기는 $4 n$이다. 직선 $m _{n}$이 점 $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$을 지나므로 직선 $m _{n}$의 방정식은 $y = \mathit{4} nx + 2 n ^{2}$ 선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}$의 수직이등분선을 $k _{n}$이라 하면 원 $C _{n}$의 중심은 직선 $k _{n}$ 위에 존재한다. 직선 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}$의 기울기는 $n$, 선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} Q _{\mathit{n}}$의 중점의 좌표는 $\left( n , 3 n ^{2} \right)$이므로 직선 $k _{n}$의 방정식은 $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{1}{n} \left( x - n \right) + 3 n ^{2}$ $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{1}{n} x + 3 n ^{2} + 1$ 원 $C _{n}$의 중심은 두 직선 $m _{n}$, $k _{n}$의 교점이므로 원 $C _{n}$의 중심의 좌표를 $\left( x _{n} , y _{n} \right)$이라 하면 $\displaystyle 4 nx _{n} + 2 n ^{2} = \mathit{-} \frac{1}{n} x _{n} + 3 n ^{2} + 1$에서 $\displaystyle \left( 4 n + \frac{1}{n} \right) x _{n} = n ^{2} + 1$ $\displaystyle x _{n} = \frac{n ^{3} + n}{4 n ^{2} + 1}$ $\displaystyle y _{n} = 4 n \times \frac{n ^{3} + n}{4 n ^{2} + 1} + 2 n ^{2} = \frac{12 n ^{4} + 6 n ^{2}}{4 n ^{2} + 1}$ 원점을 지나고 원 $C _{n}$의 넓이를 이등분하는 직선은 이 원의 중심을 지나야 하므로 $\displaystyle a _{n} = \frac{y _{n}}{x _{n}} = \frac{12 n ^{4} + 6 n ^{2}}{n ^{3} + n}$$\displaystyle = \frac{12 n ^{3} + 6 n}{n ^{2} + 1}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{n}}{n} =} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{12 n ^{2} + 6}{n ^{2} + 1}} = 12$