대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

접하는 세 원과 코사인법칙

문제

오른쪽 그림과 같이 서로 접하고 있는 세 원의 중심은 A, B, C이고 반지름의 길이의 비가 $2 : 3 : 4$ 이다. $\mathrm{\angle} ACB = \theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은?

① $\displaystyle \frac{2}{5}$ ② $\displaystyle \frac{4}{9}$ ③ $\displaystyle \frac{2}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{5}{7}$ ⑤ $\displaystyle \frac{3}{4}$

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④

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세 원의 반지름의 길이의 비가 $2 : 3 : 4$ 이므로 다음 그림과 같이 각 원의 반지름을 $2 x , 3 x , 4 x$ 라 두자.

제이코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \cos \theta = \frac{( 7 x ) ^{2} + ( 6 x ) ^{2} - ( 5 x ) ^{2}}{2 \bullet 7 x \bullet 6 x} = \frac{5}{7}$