접하는 직선 넓이비 빈칸

두 실수 $a \left( a > 2 \right)$, $b$에 대하여 이차함수 $y = x ^{2} - \left( a + 1 \right) x + a$의 그래프와 직선 $y = bx - b$가 한 점 ${\mathrm{A}} \mathit{\left( 1 , 0 \right)}$에서만 만난다. 함수 $y = x ^{2} - \left( a + 1 \right) x + a$의 그래프가 $x$축과 만나는 점 중 ${\mathrm{A}}$가 아닌 점을 ${\mathrm{B}}$, 함수 $y = x ^{2} - \left( a + 1 \right) x + a$의 그래프가 $y$축과 만나는 점을 ${\mathrm{C}}$, 직선 $y = bx - b$가 $y$축과 만나는 점을 ${\mathrm{D}}$라 하자. 다음은 삼각형 ${\mathrm{OAD}}$의 넓이를 $S _{1}$, 사각형 ${\mathrm{ABCD}}$의 넓이를 $S _{2}$라 할 때, $S _{1} : S _{2} = 2 : 7$이 되도록 하는 $a$의 값을 구하는 과정이다. (단, ${\mathrm{O}}$는 원점이다.) [4점]

이차함수 $y = x ^{2} - \left( a + 1 \right) x + a$의 그래프가 직선 $y = bx - b$와 한 점 ${\mathrm{A}}$에서만 만나므로 이차방정식 $x ^{2} - \left( a + b + 1 \right) x + a + b = 0$의 판별식 $D = 0$이다. 삼각형 ${\mathrm{OAD}}$의 넓이 $S _{1}$과 사각형 ${\mathrm{ABCD}}$의 넓이 $S _{2}$를 $a$에 대한 식으로 나타내면 $S _{1} = \square {\left( \text{가} \right)}$, $S _{2} = \square {\left( \text{나} \right)}$이다. 따라서 $S _{1} : S _{2} = 2 : 7$이 되도록 하는 $a$의 값은 $a = \square {\left( \text{다} \right)}$이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f \left( a \right)$, $g \left( a \right)$라 하고, (다)에 알맞은 수를 $p$라 할 때, $f \left( 5 \right) + g \left( 5 \right) + p$의 값은?

①$\displaystyle \frac{27}{2}$②$\displaystyle \frac{29}{2}$③$\displaystyle \frac{31}{2}$④$\displaystyle \frac{33}{2}$⑤$\displaystyle \frac{35}{2}$