공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

접하는 직선

문제

점 (−1,0)( - 1 , 0 )을 지나고 기울기가 mm인 직선이 곡선 y=x2+x+4y = x ^{2} + x + 4에 접할 때, 양수 mm의 값은? [3점] ①32\displaystyle \frac{3}{2}②22③52\displaystyle \frac{5}{2}④33⑤72\displaystyle \frac{7}{2}

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④

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해설

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이해하여 직선의 기울기를 구한다. 점 (−1,0){( - 1 , 0 )}을 지나고 기울기가 m{m}인 직선의 방정식은 y=m{x−(−1)}{y = m \left\{ x - ( - 1 ) \right\}} 즉, y=mx+m{y = mx + m} y=mx+m{y = mx + m}을 y=x2+x+4{y = x ^{2} + x + 4}에 대입하면 mx+m=x2+x+4{mx + m = x ^{2} + x + 4} x2+(1−m)x+4−m=0{x ^{2} + ( 1 - m ) x + 4 - m = 0} 직선 y=mx+m{y = mx + m}이 곡선 y=x2+x+4{y = x ^{2} + x + 4}에 접하므로 이차방정식 x2+(1−m)x+4−m=0{x ^{2} + ( 1 - m ) x + 4 - m = 0}의 판별식을 D{D}라 할 때 D=0{D = 0}이다. D{D}=(1−m)2−4(4−m){= ( 1 - m ) ^{2} - 4 ( 4 - m )}=m2+2m−15{= m ^{2} + 2 m - 15}=(m+5)(m−3){= ( m + 5 ) ( m - 3 )}=0{= 0} 에서 m=−5{m = \mathit{-} 5} 또는 m=3{m = 3} m>0{m > 0}이므로 m=3{m = 3}

태그

#판별식#이차함수와 직선

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