접기와 탄젠트

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구한다.

두 삼각형 $\mathrm{ABE}$, $\mathrm{FBE}$는 서로 합동이고 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 정사각형이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{A} = \angle \mathrm{F} = \frac{\pi}{2}$ 조건 (나)에서 사각형 $\mathrm{ABFE}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{3}$이고, 조건 (가)에서 두 삼각형 $\mathrm{ABE}$, $\mathrm{FBE}$의 넓이가 같으므로 삼각형 $\mathrm{ABE}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{6}$이다. $\angle \mathrm{ABE} = \theta$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABE}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{AE}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 1 \times \tan \theta$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \tan \theta = \frac{1}{6}$ $\displaystyle \tan \theta = \frac{1}{3}$ $\angle \mathrm{FBE} = \theta$이므로 $\angle \mathrm{ABF} = 2 \theta$ 따라서 $\tan ( \angle \mathrm{ABF} )$$= \tan 2 \theta$$= \tan \left( \theta + \theta \right)$$\displaystyle = \frac{\tan \theta + \tan \theta}{1 - \tan \theta \times \tan \theta}$ $\displaystyle = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}}$$\displaystyle = \frac{3}{4}$