기하공간벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

접은 종이 내적

문제

AD‾=4,AB‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = 4 , \overline{AB} = 3인 직사각형 모양의 종이 ABCD\mathrm{A} B C D가 있다. 대각선 AC\mathrm{A} C를 접는 선으로 하여 평면 ABC\mathrm{A} B C가 평면 ACD\mathrm{A} C D와 수직이 되게 접는다. 접은 도형에서 내적 AB⃗⋅DC⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{DC}=ba\displaystyle = \frac{b}{a}(a,ba , b는 서로소인 자연수)일 때, a+ba + b의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 벡터의 내적을 성질을 이해하고 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다. DC⃗=AB⃗′\mathrm{\vec{DC}} = \vec{AB}'인 점 B′\mathrm{B}'에 대하여 AB⃗⋅DC⃗=AB⃗⋅AB′⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{DC} = \mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{AB'} 점B\mathrm{B}에서 평면 ACD\mathrm{A} CD에 내린 수선의 발을E\mathrm{E}, 점 E\mathrm{E}에서 선분 AB′\mathrm{AB}'에 내린 수선의 발을F\mathrm{F}라 하면 삼수선의 정리에 의해 BF‾⊥AB‾′\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} \perp \overline{AB}'이다. cos⁡(∠BAE)=35\displaystyle \mathrm{\cos} ( \angle BAE ) = \frac{3}{5}이므로 BE‾=95\displaystyle \mathrm{\overline{BE}} = \frac{9}{5}, AF‾=2725\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \frac{27}{25} cos⁡(∠BAB′)=AF‾AB‾=925\displaystyle \mathrm{\cos} ( \angle BAB' ) = \frac{\overline{AF}}{\overline{AB}} = \frac{9}{25} ∴ AB⃗⋅DC⃗=AB⃗⋅AB′⃗\mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{DC} = \mathrm{\vec{AB}} \cdot \vec{AB'} =AB‾AB‾′cos⁡(∠BAB′)\displaystyle \mathrm{=} \overline{AB} \overline{AB}' \cos ( \angle BAB' )=8125\displaystyle = \frac{81}{25} ∴ a+b=25+81=106a + b = 25 + 81 = 106

태그

#내적#정사영#접기

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