대수지수와 로그수능 기출기본 문제 (3점 중반)

전송 속도 로그

문제

통신이론에서 신호의 주파수 대역폭이 $B ( Hz )$ 이고 신호잡음전력비가 $x$ 일 때, 전송할 수 있는 신호의 최대 전송 속도 $C ( bps )$ 는 다음과 같이 계산된다고 한다. $C = B \times \log _{2} ( 1 + x )$ 신호의 주파수 대역폭이 일정할 때, 신호잡음전력비를 $a$ 에서 $33 a$ 로 높였더니 신호의 최대 전송 속도가 $2$ 배가 되었다. 양수 $a$ 의 값을 구하시오. (단, 신호잡음전력비는 잡음전력에 대한 신호전력의 비이다.) [4점]

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해설

$C = B \times \log _{2} ( 1 + a )$ $\cdots \cdots$ $\text{㉠}$ $2 C = B \times \log _{2} ( 1 + 33 a )$ $\cdots \cdots$ $\text{㉡}$ $\text{㉠}$ 을 $\text{㉡}$ 에 대입하면 $2 \log _{2} ( 1 + a ) = \log _{2} ( 1 + 33 a )$ $( 1 + a ) ^{2} = ( 1 + 33 a )$ , $a ( a - 31 ) = 0$ $\therefore$ 양수 $a = 31$

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