전시물 설치 거리

[출제의도] 원과 직선의 위치관계를 활용한 수학 외적 문제 해결하기

관람지점 $\mathrm{P}$를 좌표평면 위의 원점이라 하면 전시물 $\mathrm{A}$의 밑면은 중심이 $\left( 0 , 2 \right)$이고 반지름의 길이가 $1$인 원이다. 또한, 전시물 $\mathrm{B}$의 밑면은 중심이 $\left( 2 , 0 \right)$이고 반지름의 길이가 $1$인 원이다. 두 전시물 사이로 전시물 $\mathrm{C}$가 보여야 하므로 원점에서 그은 두 원의 접선 사이에 전시물 $\mathrm{C}$의 밑면이 존재해야 한다. 이때, 원점에서 전시물 $\mathrm{C}$의 밑면의 중심까지의 거리가 최소가 되려면 전시물 $\mathrm{C}$의 밑면이 두 접선에 모두 접해야 한다. 따라서 전시물 $\mathrm{C}$의 밑면은 중심이 직선 $y = x$위에 있고 두 접선 $\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{3}} x$, $\displaystyle y = \sqrt{3} x$에 모두 접하는 반지름의 길이가 $1$인 원이다. 중심의 좌표를 $\left( a , a \right)$라 할 때, 중심에서 두 접선까지의 거리는 각각 반지름의 길이와 같으므로 $\displaystyle \frac{\left| a - \sqrt{3} a \right|}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{\left| \sqrt{3} a - a \right|}{\sqrt{3 + 1}} = 1$ $\displaystyle a = \frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \sqrt{3} + 1$ 원점에서 전시물 $\mathrm{C}$의 밑면의 중심까지의 거리는 $\displaystyle \sqrt{2} a$ 따라서 $d$의 최솟값은 $\displaystyle \sqrt{6} + \sqrt{2}$