정육면체 부피 합

[출제의도] 곱셈공식을 이용하여 도형의 내적 문제를 해결한다. 한 모서리의 길이가 $x - 1$인 정육면체의 부피 $A$는 $A = \left( x - 1 \right) ^{3}$ 한 모서리의 길이가 $x + 1$인 정육면체의 부피 $B$는 $B = \left( x + 1 \right) ^{3}$ 두 정육면체의 부피의 합 $A + B$는 $A + B = \left( x - 1 \right) ^{3} + \left( x + 1 \right) ^{3}$ $= \left( x ^{3} - 3 x ^{2} + 3 x - 1 \right) + \left( x ^{3} + 3 x ^{2} + 3 x + 1 \right)$ $= 2 x ^{3} + 6 x$ [다른 풀이] 인수분해 공식을 이용한 방법 $a ^{3} + b ^{3} = \left( a + b \right) \left( a ^{2} - ab + b ^{2} \right)$이므로 $A + B = \left( x - 1 \right) ^{3} + \left( x + 1 \right) ^{3}$ $= \left\{ \left( x - 1 \right) + \left( x + 1 \right) \right\} \left\{ \left( x - 1 \right) ^{2} - \left( x - 1 \right) \left( x + 1 \right) + \left( x + 1 \right) ^{2} \right\}$ $= 2 x \left( x ^{2} - 2 x + 1 - x ^{2} + 1 + x ^{2} + 2 x + 1 \right)$ $= 2 x \left( x ^{2} + 3 \right)$ $= 2 x ^{3} + 6 x$