대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육면체 분할 겉넓이

문제

한 변의 길이가 44인 정육면체가 있다. [그림 1]은 이 정육면체의 각 모서리를 수직이등분하여 분리된 정육면체들을 나타낸 것이다. [그림 2]는 [그림 1]의 정육면체들의 각 모서리를 수직이등분하여 분리된 정육면체들을 나타낸 것이다. (1회 시행 후) (2회 시행 후) ⋯\cdots

[그림 1] [그림 2] 이와 같은 시행을 계속해 나갈 때, 5회 시행 후 분리된 모든 정육면체들의 겉넓이의 합은? [4점] ①3×210\mathrm{3} \times 2 ^{10}②3×212\mathrm{3} \times 2 ^{12}③3×215\mathrm{3} \times 2 ^{15}④3×217\mathrm{3} \times 2 ^{17}⑤3×2203 \times 2 ^{20}

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①

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해설

분리된 정육면체의 개수와 한 변의 길이는 다음 표와 같다.

정육면체의 개수한 변의 길이
11회 시행 후232 ^{3}22
22회 시행 후262 ^{6}11
33회 시행 후292 ^{9}12\displaystyle \frac{1}{2}
44회 시행 후2122 ^{12}14\displaystyle \frac{1}{4}
55회 시행 후2152 ^{15}18\displaystyle \frac{1}{8}

∴ 55회 시행 후 겉넓이의 합은 (18)2×6×215=3×210\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right) ^{2} \times 6 \times 2 ^{15} = 3 \times 2 ^{10}

태그

#등비수열#입체도형

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