기하공간벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육면체 벡터의 각

문제

그림과 같이 한 모서리의 길이가 4인 정육면체 ABCD−EFGHABCD - EFGH의 세 모서리 AB,CD,EFAB , CD , EF 위에 AP‾=CQ‾=FR‾=1\displaystyle {\overline{AP}} = {\overline{CQ}} = {\overline{FR}} = 1인 세 점 P,Q,RP , Q , R가 있다. 두 벡터 RP⃗{\vec{RP}}와 RQ⃗{\vec{RQ}}가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 할 때, cos⁡θ\cos \theta의 값은? [3점]

①35\displaystyle \frac{3}{5}②105\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}③115\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{5}④235\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{5}⑤135\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{5}

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②

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해설

[출제의도] 공간벡터의 내적 이해하기 정육면체 ABCD−EFGHABCD - EFGH에서 꼭짓점 HH를 원점 OO에 두고, 세 모서리 HEHE, HGHG, HDHD가 각각 xx축, yy축, zz축의 양의 방향과 일치하도록 좌표공간에 놓으면 세 점 PP, QQ, RR의 좌표는 P(4,1,4)P ( 4 , 1 , 4 ), Q(0,3,4)Q ( 0 , 3 , 4 ), R(4,3,0)R ( 4 , 3 , 0 ) RP⃗=OP⃗−OR⃗=(4,1,4)−(4,3,0)=(0,−2,4){\vec{RP}} = {\vec{OP}} - {\vec{OR}} = ( 4 , 1 , 4 ) - ( 4 , 3 , 0 ) = ( 0 , - 2 , 4 ) RQ⃗=OQ⃗−OR⃗=(0,3,4)−(4,3,0)=(−4,0,4){\vec{RQ}} = {\vec{OQ}} - {\vec{OR}} = ( 0 , 3 , 4 ) - ( 4 , 3 , 0 ) = ( - 4 , 0 , 4 ) cos⁡θ=RP⃗∙RQ⃗∣RP⃗∣∣RQ⃗∣=1620×32=105\displaystyle \cos \theta = \frac{{\vec{RP}} \bullet {\vec{RQ}}}{\left| {\vec{RP}} \right| \left| {\vec{RQ}} \right|} = \frac{16}{\sqrt{20} \times \sqrt{32}} = \frac{\sqrt{10}}{5}

태그

#공간벡터#내적

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