미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정육각형과 원의 등비급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 66인 정육각형 H1H _{1}이 있다. 정육각형 H1H _{1}의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고, 66개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 정육각형 H1H _{1}의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 H2H _{2}라 하자. 정육각형 H2H _{2}의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고, 새로 그려진 66개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 그림 R2R _{2}에 정육각형 H2H _{2}의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 H3H _{3}이라 하자. 정육각형 H3H _{3}의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고, 새로 그려진 66개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 R3R _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn=k(33−m)π\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = k \left( 3 \sqrt{3} - m \right) \pi이다. 11k+m11 k + m의 값은? (단, kk, mm은 유리수이다.) [4점]

⋯\cdots ⋯\cdots

①9090②101101③112112④123123⑤134134

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③

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해설

[출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기 그림 RnR _{n}에서 새로 그려진 66개의 원의 넓이의 합을 ana _{n}이라 하자. 정육각형 H1H _{1}의 한 변의 길이가 66이므로 그림 R1R _{1}의 원의 반지름의 길이는 11이고 a1=6πa _{1} = 6 \pi이다. 정육각형 HnH _{n}의 가장 긴 대각선들이 만나는 점을 O\mathrm{O}라 하자. 정육각형 HnH _{n}의 한 꼭짓점을 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}이라 하고, 정육각형 HnH _{n}의 변 중 점 An\mathrm{A} _{\mathit{n}}을 끝점으로 하는 한 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 CnC _{\mathit{n}}, 중심을 On\mathrm{O} _{\mathit{n}}이라 하자. 정육각형 Hn+1H _{n + 1}과 원 CnC _{\mathit{n}}이 만나는 점을 An+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1}이라 하고, 정육각형 Hn+1H _{n + 1}의 각 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원 중 선분 OAn\mathrm{OA} _{\mathit{n}}과 만나는 원을 Cn+1C _{\mathit{n} \mathrm{+} 1}, 중심을 On+1\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1}이라 하자. 두 원 CnC _{n}, Cn+1C _{n + 1}의 반지름의 길이를 각각 rnr _{n}, rn+1r _{n + 1}이라 하자. 다음은 그림 Rn+1R _{n + 1}의 일부이다.

On\mathrm{O} _{\mathit{n}} rnr _{\mathit{n}} An\mathrm{A} _{\mathit{n}} rn+1r _{\mathit{n} \mathrm{+} 1} On+1\mathrm{O} _{\mathit{n} \mathrm{+} 1} An+1\mathrm{A} _{\mathit{n} \mathrm{+} 1} CnC _{\mathit{n}} Cn+1C _{\mathit{n} \mathrm{+} 1}

삼각형 OAnOn\mathrm{OA} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n}}은 ∠OOnAn=90∘\angle \mathrm{OO} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}} \mathit{=} 90 ^\circ, ∠OAnOn=60∘\angle \mathrm{OA} _{\mathit{n}} O _{\mathit{n}} \mathit{=} 60 ^\circ인 직각삼각형이고, OnAn‾=3rn\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{\mathit{n}} A _{\mathit{n}}}} = 3 \mathit{r} _{n}, OOn‾=33rn\displaystyle {\overline{\mathrm{OO} _{\mathit{n}}}} = 3 \sqrt{3} r _{n}이다. 삼각형 OAn+1On+1\mathrm{OA} _{\mathit{n} + 1} O _{\mathit{n} + 1}은 ∠OOn+1An+1=90∘\angle \mathrm{OO} _{\mathit{n} + 1} A _{\mathit{n} \mathrm{+} 1} \mathit{=} 90 ^\circ, ∠OAn+1On+1=60∘\angle \mathrm{OA} _{\mathit{n} + 1} O _{\mathit{n} \mathrm{+} 1} \mathit{=} 60 ^\circ인 직각삼각형이고, OAn+1‾=(33−1)rn\displaystyle {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n} + 1}}} = \left( 3 \sqrt{3} - 1 \right) r _{n} On+1An+1‾=33−12rn\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1} A _{\mathit{n} + 1}}} = \frac{3 \sqrt{3} - 1}{2} r _{n}이다. rn+1=13On+1An+1‾=33−16rn\displaystyle r _{n + 1} = \frac{1}{3} {\overline{\mathrm{O} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n} + 1}}} \mathrm{A} \mathit{_{\mathit{n} + 1}}}} = \frac{3 \sqrt{3} - 1}{6} r _{n} 그러므로 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 첫째항이 6π6 \pi이고 공비가 (33−16)2=14−3318\displaystyle \left( \frac{3 \sqrt{3} - 1}{6} \right) ^{2} = \frac{14 - 3 \sqrt{3}}{18}인 등비수열이다. Sn=∑k=1nak\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}이므로 lim⁡n→∞Sn=6π1−14−3318=10811(33−4)π\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n} = \frac{6 \pi}{1 - \frac{14 - 3 \sqrt{3}}{18}} = \frac{108}{11} \left( 3 \sqrt{3} - 4 \right) \pi} 따라서 k=10811\displaystyle k = \frac{108}{11}, m=4m = 4이고 11k+m=11211 k + m = 112

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#등비급수#도형#닮음비

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