대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육각형과 원 넓이

문제

반지름의 길이가 22인 원 O\mathrm{O}에 내접하는 정육각형이 있다. 그림과 같이 정육각형의 각 변을 지름으로 하는 원 66개를 그릴 때, 어두운 부분의 넓이는? [4점]

①33−π\displaystyle 3 \sqrt{3} - \pi②33+π\displaystyle 3 \sqrt{3} + \pi③23−π3\displaystyle 2 \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}④23+π3\displaystyle 2 \sqrt{3} + \frac{\pi}{3}⑤34+π3\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{3}

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①

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해설

[출제의도] 부채꼴의 넓이를 이용하여 도형의 넓이 구하기

△OPQ\mathrm{\triangle} OPQ는 한 변의 길이가 22인 정삼각형이고, △ABC\mathrm{\triangle} ABC는 한 변의 길이가 11인 정삼각형이므로 S1=△OPQ−(△APB+부채꼴ABC+△ACQ)S _{1} = \mathrm{\triangle} OPQ - ( \triangle APB + \text{부채꼴} ABC + \triangle ACQ ) =3−(34+π6+34)\displaystyle = \sqrt{3} - \left( \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) =32−π6\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} 구하고자 하는 부분의 넓이 SS 는 6S16 S _{1}이므로 S=6(32−π6)=\displaystyle S = 6 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \right) =33−π\displaystyle 3 \sqrt{3} - \pi

태그

#부채꼴#넓이

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