미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육각형과 원 둘레 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 88인 정육각형 A1B1C1A2D1E1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} A _{2} D _{1} E _{1}의 변 A2D1\mathrm{A} _{2} D _{1}을 지름으로 하는 원 O1\mathrm{O} _{1}을 그린다. 원 O1\mathrm{O} _{1}과 선분 C1A2\mathrm{C} _{1} A _{2}의 연장선의 교점을 E2\mathrm{E} _{2}라 할 때, 선분 A2E2\mathrm{A} _{2} E _{2}를 한 변으로 하는 정육각형 A2B2C2A3D2E2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} A _{3} D _{2} E _{2}를 그리고 변 A3D2\mathrm{A} _{3} D _{2}를 지름으로 하는 원 O2\mathrm{O} _{2}를 그린다. 원 O2\mathrm{O} _{2}와 선분 C2A3\mathrm{C} _{2} A _{3}의 연장선의 교점을 E3\mathrm{E} _{3}이라 할 때, 선분 A3E3\mathrm{A} _{3} E _{3}을 한 변으로 하는 정육각형 A3B3C3A4D3E3\mathrm{A} _{3} B _{3} C _{3} A _{4} D _{3} E _{3}을 그리고 변 A4D3\mathrm{A} _{4} D _{3}을 지름으로 하는 원 O3\mathrm{O} _{3}을 그린다. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 원 On\mathrm{O} _{\mathit{n}}의 둘레의 길이를 lnl _{n}이라 할 때, ∑n=1∞ln\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n}의 값은? [3점]

①16π16 \pi②18π18 \pi③20π20 \pi④22π22 \pi⑤24π24 \pi

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①

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해설

[출제의도] 도형과 관련된 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 nn번째 원 On\mathrm{O} _{\mathit{n}}의 지름을 2rn2 r _{n}, n+1n + 1번째 원 On+1\mathrm{O} _{\mathit{n} + 1}의 지름을 2rn+12 r _{n+1}이라 할 때, α\alpha는 지름에 대한 원주각이므로 90∘90 ^\circ이고 β\beta는 정육각형의 외각이므로 60∘60 ^\circ이다. 따라서 rn+1rn=12\displaystyle \frac{r _{n+1}}{r _{n}} = \frac{1}{2}, r1=4r _{1} = 4이다. rn=4⋅(12)n−1\displaystyle r _{n} = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} 그런데 ln=2πrn=8π⋅(12)n−1\displaystyle l _{n} = 2 \pi r _{n} = 8 \pi \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1} ∑k=1∞lk=∑k=1∞8π(12)k−1\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{\infty} l _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{\infty} 8 \pi \left( \frac{1}{2} \right) ^{k - 1} =8π1−12=16π\displaystyle = \frac{8 \pi}{1 - \frac{1}{2}} = 16 \pi

태그

#무한등비급수#도형

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