미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육각형과 정사각형 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 2\displaystyle \sqrt{2}인 정육각형이 있다. 이 정육각형의 한 변을 1:31 : 3과 3:13 : 1로 내분하는 두 점을 대각선의 양 끝점으로 하는 정사각형을 각 변에 만들어 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}의 정사각형들의 꼭짓점 중에서 정육각형의 내부에 있는 꼭짓점들을 연결하여 정육각형을 만들고, 이 정육각형의 한 변을 1:31 : 3과 3:13 : 1로 내분하는 두 점을 대각선의 양 끝점으로 하는 정사각형을 각 변에 만들어 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번 째 얻은 그림 RnR _{n}의 모든 정사각형의 둘레의 길이의 합을 lnl _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞ln\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {l _{n}}의 값은? [4점]

①48(5+23)13\displaystyle \frac{48 ( 5 + 2 \sqrt{3} )}{13}②28(2+33)15\displaystyle \frac{28 ( 2 + 3 \sqrt{3} )}{15}③18(1+23)11\displaystyle \frac{18 ( 1 + 2 \sqrt{3} )}{11}④6(3+23)11\displaystyle \frac{6 ( 3 + 2 \sqrt{3} )}{11}⑤4(1+33)13\displaystyle \frac{4 ( 1 + 3 \sqrt{3} )}{13}

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①

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해설

[출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 △ACD\triangle ACD󰁀△AEB\triangle AEB 이다. CD‾=22,\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = \frac{\sqrt{2}}{2} , ∠ACD=60∘,\angle \mathrm{A} C D = 60 ^\circ , AD‾=62,\displaystyle \overline{\mathrm{AD}} = \frac{\sqrt{6}}{2} , DE‾=24\displaystyle \overline{\mathrm{DE}} = \frac{\sqrt{2}}{4} ∴AE‾=26−24\displaystyle \therefore \overline{\mathrm{AE}} = \frac{2 \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} 주어진 정육각형과 첫 번째 만들어진 정육각형의 닮음비는 1:23−14\displaystyle 1 : \frac{2 \sqrt{3} - 1}{4}이므로 lim⁡n→∞ln=6×21−23−14=48(5+23)13\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} l _{n} = 6 \times \frac{2}{1 - \frac{2 \sqrt{3} - 1}{4}} = \frac{48 ( 5 + 2 \sqrt{3} )}{13}

태그

#무한등비급수#닮음비#도형

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