미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정육각형 무한급수

문제

한 변의 길이가 11인 정육각형에서 서로 이웃하지 않는 세 변의 중점과 이 정육각형에 외접하는 원의 중심을 각각 연결하여 세 선분을 얻는다. 이 세 선분을 각각 가장 긴 대각선으로 하는 33개의 정육각형을 그려서 얻은 모양의 그림을 H1H _{1}이라 하고, 그림 H1H _{1}의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. 그림 H1H _{1}에서 새로 그려진 세 정육각형 내부에 각각 그림 H1H _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 그려서 얻은 33개의 모양의 그림을 H2H _{2}라 하고, 그림 H2H _{2}의 넓이를 S2S _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 그려서 얻은 3n−13 ^{n - 1}개의 모양의 그림을 HnH _{n}이라 하고, 그림 HnH _{n}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [4점]

①27113\displaystyle \frac{27}{11} \sqrt{3}②943\displaystyle \frac{9}{4} \sqrt{3}③27133\displaystyle \frac{27}{13} \sqrt{3}④27143\displaystyle \frac{27}{14} \sqrt{3}⑤953\displaystyle \frac{9}{5} \sqrt{3}

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④

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해설

HnH _{n}의 한 정육각형의 한 변의 길이를 lnl _{n}이라 하고 Hn+1H _{n + 1}의 한 정육각형의 한 변의 길이를 ln+1l _{n + 1}이라 하자.

2AB‾=EF‾\displaystyle \mathrm{2} \overline{AB} = \overline{EF}이므로 32AB‾=CD‾\displaystyle \frac{\mathrm{3}}{2} \overline{AB} = \overline{CD}이다. 32ln=4×32ln+1\displaystyle \frac{3}{2} l _{n} = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} l _{n + 1}이 성립하므로, ln+1=34ln\displaystyle l _{n + 1} = \frac{\sqrt{3}}{4} l _{n}에서 Sn+1=3×(34)2Sn=916Sn\displaystyle S _{n + 1} = 3 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right) ^{2} S _{n} = \frac{9}{16} S _{n} 수열 {Sn}\left\{ S _{n} \right\}은 S1=34×(34)2×6×3=27323\displaystyle S _{1} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right) ^{2} \times 6 \times 3 = \frac{27}{32} \sqrt{3}이고, 공비가 916\displaystyle \frac{9}{16}인 무한등비수열이다. 따라서 ∑n=1∞Sn=273231−916=27143\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{\frac{27}{32} \sqrt{3}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{27}{14} \sqrt{3}

태그

#무한등비급수#도형

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