미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정육각형 정삼각형 넓이 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 33인 정육각형의 각 꼭지점에서 짧은 대각선을 그려서 만들어진 정육각형을 H1\mathrm{H} _{1}이라 하고, H1\mathrm{H} _{1}의 외부에 새로 만들어진 정삼각형을 어둡게 칠한다. H1\mathrm{H} _{1} ^{{} ^{{} ^{{}}}}의 각 꼭지점에서 짧은 대각선을 그려서 만들어진 정육각형을 H2\mathrm{H} _{2}라 하고, H2\mathrm{H} _{2}의 외부에 새로 만들어진 정삼각형을 어둡게 칠한다. 이와 같은 과정을 한없이 계속할 때, 어둡게 칠해진 모든 정삼각형의 넓이의 합은? [4점]

①1943\displaystyle \frac{19}{4} \sqrt{3}②2143\displaystyle \frac{21}{4} \sqrt{3}③2343\displaystyle \frac{23}{4} \sqrt{3}④2543\displaystyle \frac{25}{4} \sqrt{3}⑤2743\displaystyle \frac{27}{4} \sqrt{3}

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⑤

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해설

kk번째 만들어진 정육각형 Hk\mathrm{H} _{\mathit{k}}와 k+1k + 1번째 만들어진 정육각형 Hk+1\mathrm{H} _{\mathit{k} + 1}의 한 변의 길이를 각각 aka _{k}, ak+1a _{k + 1}이라 하면

ak+1cos⁡30∘=12ak\displaystyle a _{k + 1} \cos 30 ^\circ = \frac{1}{2} a _{k} ∴ ak+1=13ak\displaystyle a _{k + 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} a _{k} 길이의 비가 13\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} 이므로 넓이의 비는 13\displaystyle \frac{1}{3}이고 첫 번째 과정에서 생기는 66개의 정삼각형의 넓이의 합은 6×34(3)2=923\displaystyle 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \sqrt{3} \right) ^{2} = \frac{9}{2} \sqrt{3} 이다. 모든 정삼각형의 넓이의 합은 첫째항이 923\displaystyle \frac{9}{2} \sqrt{3}이고, 공비가 13\displaystyle \frac{1}{3}인 무한 등비급수의 합이므로 ∴ 9231−13=2743\displaystyle \frac{\frac{9}{2} \sqrt{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{27}{4} \sqrt{3}

태그

#무한등비급수#도형

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