정육각형 도형 급수

[출제의도] 등비급수를 이용하여 도형 문제 추론하기

점 $\mathrm{G} _{1}$에서 선분 $\mathrm{A} _{1} B _{1}$, $\mathrm{C} _{1} F _{1}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{I}$, $\mathrm{O}$라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}}} : {\overline{\mathrm{C} _{1} F _{1}}} = {\overline{\mathrm{G} _{1} I}} : {\overline{\mathrm{G} _{1} O}}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}}} = 4$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{C} _{1} F _{1}}} = 8$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{G} _{1} O}} = 2 {\overline{\mathrm{G} _{1} I}}$이다. 삼각형$\mathrm{OA} _{1} B _{1}$이 한 변의 길이가 $4$인 정삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{IO}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2 \sqrt{3}$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{G} _{1} O}} = 2 \sqrt{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$이다. 따라서 마름모 $\mathrm{F} _{1} G _{1} C _{1} H _{1}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{G} _{1} H _{1}}} \times {\overline{\mathrm{C} _{1} F _{1}}} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{4 \sqrt{3}}{3} \times 2 \right) \times 8 = \frac{32}{3} \sqrt{3}$ 이다. 한편, 사각형 $\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{1}}} \mathrm{B} \mathit{_{1}} \mathrm{O} \mathit{\mathrm{F}} \mathit{_{1}}$은 마름모이고 점 $\mathrm{A} \mathit{_{2}}$는 선분 $\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{1}}} \mathrm{F} \mathit{\mathrm{_{1}}}$의 중점이므로 점 $\mathrm{A} \mathit{_{2}}$는 선분 $\mathrm{OA} \mathit{\mathrm{_{1}}}$의 중점이다. 마찬가지로 점 $\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{2}}}$는 선분 $\mathrm{OB} \mathit{\mathrm{_{1}}}$의 중점이다. 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} \mathit{_{1}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{_{1}}}} : {\overline{\mathrm{A} \mathit{_{2}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{_{2}}}} = 2 : 1$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{2}}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{_{2}}}}} = 2$이다. 그러므로 정육각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}$는 한 변의 길이가 $2$이므로 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2 ^{2} \times 6 = 6 \sqrt{3}$이다. 따라서 $R _{1}$에서 색칠되어 있는 부분의 넓이 $S _{1}$은 다음과 같다. $S _{1} =$(마름모 $\mathrm{F} _{1} G _{1} C _{1} H _{1}$의 넓이)- (정육각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}$의 넓이) $\displaystyle = \frac{14}{3} \sqrt{3}$

$\mathrm{F} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{D} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{E} _{\mathit{n}}$ $\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}$ $\mathrm{D} _{\mathit{n} + 1}$ $\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1}$ $\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1}$ $\mathrm{E} _{\mathit{n} + 1}$ $\mathrm{F} _{\mathit{n} + 1}$

그림 $R _{n}$을 얻은 과정에서 새로 색칠한 도형의 넓이를 $a _{n}$이라 하자. 그림 $R _{n}$에서 직선 $\mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n}}} \mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}$과 직선 ${\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{_{n}}} {\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}$은 점 $\mathrm{O}$에서 만난다. 점 ${\mathrm{A}} _{n + 1}$은 선분 $\mathrm{OA} \mathit{\mathrm{_{n}}}$의 중점이므로 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} _{n} \mathit{\mathrm{B}} _{n}}} : {\overline{{\mathrm{A}} _{n + 1} \mathit{\mathrm{B}} _{n + 1}}} = 2 : 1$이다. 따라서 $a _{n} : a _{n + 1} = 2 ^{2} : 1$이므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비 $\displaystyle r = \frac{1}{4}$이다. 그러므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{S _{1}}{1 - r} = \frac{\frac{14}{3} \sqrt{3}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{56}{9} \sqrt{3}}$ 이다.