미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정육각형 도형 급수

문제

한 변의 길이가 22인 정육각형 A1A _{1}이 있다. 그림과 같이 A1A _{1}의 내부에 반지름의 길이가 같은 원 66개를 서로 외접하면서 A1A _{1}의 각 변의 중점에 접하도록 그리고 A1A _{1}의 내부와 66개의 원의 외부로 이루어진 영역 중 A1A _{1}의 각 변과 원으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 그려진 66개의 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 A2A _{2}라 하자. 그림 R1R _{1}에 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 A2A _{2}의 내부에 반지름의 길이가 같은 원 66개를 서로 외접하면서 A2A _{2}의 각 변의 중점에 접하도록 그리고 A2A _{2}의 내부와 A2A _{2}의 내부에 그린 66개의 원의 외부로 이루어진 영역 중 A2A _{2}의 각 변과 원으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 그림 R2R _{2}에 새로 그려진 66개의 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 A3A _{3}이라 하자. 그림 R2R _{2}에 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 A3A _{3}의 내부에 반지름의 길이가 같은 원 66개를 서로 외접하면서 A3A _{3}의 각 변의 중점에 접하도록 그리고 A3A _{3}의 내부와 A3A _{3}의 내부에 그린 66개의 원의 외부로 이루어진 영역 중 A3A _{3}의 각 변과 원으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 R3R _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

⋯\cdots ⋯\cdots

①43−π\displaystyle 4 \sqrt{3} - \pi②63−2π\displaystyle 6 \sqrt{3} - 2 \pi③43−π2\displaystyle 4 \sqrt{3} - \frac{\pi}{2}④63−π\displaystyle 6 \sqrt{3} - \pi⑤83−2π\displaystyle 8 \sqrt{3} - 2 \pi

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②

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해설

[출제의도] 무한급수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 AnA _{n}의 한 변의 길이를 ana _{n}이라 할 때, An+1A _{n + 1}의 한 변의 길이 an+1a _{n + 1}은 an+1=an×tan⁡π6=13an\displaystyle a _{n + 1} = a _{n} \times \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} a _{n} 따라서 S2−S1=13S1\displaystyle S _{2} - S _{1} = \frac{1}{3} S _{1}, Sn+2−Sn+1=13(Sn+1−Sn)\displaystyle S _{n + 2} - S _{n + 1} = \frac{1}{3} \left( S _{n + 1} - S _{n} \right) (n≥1)( n \geq 1 )

정육각형 A1A _{1}의 한 변 AB\mathrm{AB}의 중점을 M\mathrm{M}, 점 M\mathrm{M}을 접점으로 하는 원의 중심을 O\mathrm{O}라 하자. 그림 R1R _{1}에서 각 원의 반지름을 rr라 하면 ∠OAM=π6\displaystyle \angle \mathrm{OAM} = \frac{\pi}{6}이므로 r=tan⁡π6=33\displaystyle r = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} S1={3−(33)2π}×23×6=43−4π3\displaystyle S _{1} = \left\{ \sqrt{3} - \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) ^{2} \pi \right\} \times \frac{2}{3} \times 6 = 4 \sqrt{3} - \frac{4 \pi}{3} Sn=∑k=1n(43−4π3)(13)k−1\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( 4 \sqrt{3} - \frac{4 \pi}{3} \right) \left( \frac{1}{3} \right) ^{k - 1} 그러므로 lim⁡n→∞Sn=43−4π31−13=63−2π\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n} = \frac{4 \sqrt{3} - \frac{4 \pi}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = {6 \sqrt{3} - 2 \pi}}

태그

#등비급수#도형

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