정육각형 변 위 여섯 타원

정육각형의 한 내각의 크기는 $120 ^\circ$이므로 색칠한 이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변의 길이를 $a$라 하면 $6$개의 삼각형의 넓이의 합은 $\displaystyle 6 \times \frac{1}{2} \times a ^{2} \sin 120 ^\circ = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a ^{2}$$\displaystyle = 6 \sqrt{3}$ $\therefore a = 2$ (∵ $a > 0$) 따라서 주어진 타원의 장축의 길이는 $10$이고 두 초점 사이의 거리는 $10 - 2 \cdot 2 = 6$이다. 따라서 이 타원과 합동이고 중심이 원점이고 장축이 $x$축 위에 있는 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{5 ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 이 때, 초점의 좌표는 $( \pm 3 , 0 )$이어야 하므로 $5 ^{2} - b ^{2} = 3 ^{2}$ ∴ $b ^{2} = 16$ 따라서 구하는 타원의 단축의 길이는 $2 \times | b | = 2 \times 4 = 8$