미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정육각형 부채꼴 급수

문제

한 변의 길이가 2인 정육각형 A1B1C1D1E1F1A _{1} B _{1} C _{1} D _{1} E _{1} F _{1}이 있다. 그림과 같이 중심이 C1C _{1}, 반지름의 길이가 C1D1‾\displaystyle {\overline{C _{1} D _{1}}}이고 중심각의 크기가 120∘120 ^\circ인 부채꼴 C1D1B1C _{1} D _{1} B _{1}을 그리고 중심이 D1D _{1}, 반지름의 길이가 D1E1‾\displaystyle {\overline{D _{1} E _{1}}}이고 중심각의 크기가 120∘120 ^\circ인 부채꼴 D1E1C1D _{1} E _{1} C _{1}을 그린 후 두 부채꼴 C1D1B1C _{1} D _{1} B _{1}과 D1E1C1D _{1} E _{1} C _{1}의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 A1B2‾=B2C2‾\displaystyle {\overline{A _{1} B _{2}}} = {\overline{B _{2} C _{2}}}이고 ∠A1B2C2=120∘\angle A _{1} B _{2} C _{2} = 120 ^\circ가 되도록 선분 A1B1A _{1} B _{1}위에 점 B2B _{2}, 호 B1D1B _{1} D _{1}위에 점 C2C _{2}를 각각 잡고, 두 선분 A1B1A _{1} B _{1}, B2C2B _{2} C _{2}를 이웃하는 두 변으로 하는 정육각형 A1B2C2D2E2F2A _{1} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}를 그린 후 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 두 부채꼴을 그려 두 부채꼴의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}의 값은? [4점]

①23(4π−33)11\displaystyle \frac{2 \sqrt{3} ( 4 \pi - 3 \sqrt{3} )}{11}②(4π−33)(23+1)11\displaystyle \frac{( 4 \pi - 3 \sqrt{3} ) ( 2 \sqrt{3} + 1 )}{11}③(4π−33)(23+2)11\displaystyle \frac{( 4 \pi - 3 \sqrt{3} ) ( 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} )}{11}④33(4π−33)11\displaystyle \frac{3 \sqrt{3} ( 4 \pi - 3 \sqrt{3} )}{11}⑤(4π−33)(23+2)11\displaystyle \frac{( 4 \pi - 3 \sqrt{3} ) ( 2 \sqrt{3} + 2 )}{11}

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②

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해설

[출제의도] 도형에서 등비급수의 성질을 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다.

그림과 같이 꼭짓점 B1\mathrm{B} _{1}에서 선분 A1C1\mathrm{A} _{1} C _{1}에 내린 수선의 발을 H,\mathrm{H} , 두 호 B1D1,\mathrm{B} _{1} D _{1} , C1E1\mathrm{C} _{1} E _{1}의 교점을 P,\mathrm{P} , 선분 A1C2\mathrm{A} _{1} C _{2}의 길이를 xx라 두자 ∠B1C1H=30∘\angle \mathrm{B} _{1} C _{1} H = 30 ^{\circ}이므로 C1H‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{C} _{1} H}} = \sqrt{3}, A1C1‾=2C1H‾=23\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} C _{1}}} = 2 {\overline{\mathrm{C} _{1} H}} = 2 \sqrt{3}이고 A1C2‾=A1C1‾−C1H‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} C _{2}}} = {\overline{\mathrm{A} _{1} C _{1}}} - {\overline{\mathrm{C} _{1} H}}이므로 x=23−2\displaystyle x = 2 \sqrt{3} - 2이다. 따라서 두 정육각형 A1B1C1D1E1F1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1} E _{1} F _{1}와 A1B2C2D2E2F2\mathrm{A} _{1} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}의 닮음비는 A1C1‾:A1C2‾=23:23−2\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} C _{1}} : \overline{\mathrm{A} _{1} C _{2}} = 2 \sqrt{3} : 2 \sqrt{3} - 2=1:3−13\displaystyle = 1 : \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} 이므로 넓이의 비는 1:(3−13)2\displaystyle 1 : \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} \right) ^{2} 따라서 공비는 (3−13)2=4−233\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} \right) ^{2} = \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{3} 삼각형 C1PD1\mathrm{C} _{1} P D _{1}는 한 변의 길이가 22인 정삼각형이므로 S1S _{1}은 부채꼴 C1PD1\mathrm{C} _{1} P D _{1} 넓이의 두 배에서 정삼각형 C1PD1\mathrm{C} _{1} P D _{1}의 넓이를 뺀 값이다. S1S _{1} =2×(22×π×60∘360∘)−34×22\displaystyle = 2 \times \left( 2 ^{2} \times \pi \times \frac{60 ^{\circ}}{360 ^{\circ}} \right) - \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2 ^{2}=4π3−3\displaystyle = \frac{4 \pi}{3} - \sqrt{3} lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}=4π3−31−(4−233)\displaystyle = \frac{\frac{4 \pi}{3} - \sqrt{3}}{1 - \left( \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{3} \right)}=4π−33323−13\displaystyle = \frac{\frac{4 \pi - 3 \sqrt{3}}{3}}{\frac{2 \sqrt{3} - 1}{3}}=4π−3323−1\displaystyle = \frac{4 \pi - 3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} - 1} =(4π−33)(23+1)11\displaystyle = \frac{( 4 \pi - 3 \sqrt{3} ) ( 2 \sqrt{3} + 1 )}{11}

태그

#등비급수#도형

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