정육각형 반원 호 급수

그림과 같이 중심이 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $2$인 원 $O _{1}$의 $6$등분점을 각각 $\mathrm{A} _{1}$, $\mathrm{B} _{1}$, $\mathrm{C} _{1}$, $\mathrm{D} _{1}$, $\mathrm{E} _{1}$, $\mathrm{F} _{1}$이라 하자. 중심각의 크기가 $60 ^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{OA} _{1} B _{1}$의 호 $\mathrm{A} _{1} B _{1}$의 이등분점을 $\mathrm{P} _{1}$이라 하고, 선분 $\mathrm{OA} _{1}$ 위에 $\mathrm{\angle} OP _{1} A _{2} = 45 ^\circ$가 되도록 점 $\mathrm{A} _{2}$를 정한다. 중심이 $\mathrm{O}$이고 선분 $\mathrm{O} A _{2}$를 반지름으로 하는 원 $O _{2}$가 $5$개의 선분 $\mathrm{OB} _{1}$, $\mathrm{O} C _{1}$, $\mathrm{O} D _{1}$, $\mathrm{O} E _{1}$, $\mathrm{O} F _{1}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{C} _{2}$, $\mathrm{D} _{2}$, $\mathrm{E} _{2}$, $\mathrm{F} _{2}$라 하고, 원 $O _{2}$의 외부에 정육각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}$의 각 변을 지름으로 하는 $6$개의 반원을 그리고, 이 $6$개의 반원의 호의 길이의 합을 $l _{1}$이라 하자. 중심각의 크기가 $60 ^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{OA} _{2} B _{2}$의 호 $\mathrm{A} _{2} B _{2}$의 이등분점을 $\mathrm{P} _{2}$라 하고, 선분 $\mathrm{OA} _{2}$ 위에 $\mathrm{\angle} OP _{2} A _{3} = 45 ^\circ$가 되도록 점 $\mathrm{A} _{3}$을 정한다. 중심이 $\mathrm{O}$이고 선분 $\mathrm{O} A _{3}$을 반지름으로 하는 원 $O _{3}$이 $5$개의 선분 $\mathrm{O} B _{2}$, $\mathrm{O} C _{2}$, $\mathrm{O} D _{2}$, $\mathrm{O} E _{2}$, $\mathrm{O} F _{2}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{B} _{3}$, $\mathrm{C} _{3}$, $\mathrm{D} _{3}$, $\mathrm{E} _{3}$, $\mathrm{F} _{3}$이라 하고, 원 $O _{3}$의 외부에 정육각형 $\mathrm{A} _{3} B _{3} C _{3} D _{3} E _{3} F _{3}$의 각 변을 지름으로 하는 $6$개의 반원을 그리고, 이 $6$개의 반원의 호의 길이의 합을 $l _{2}$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 $6$개의 반원의 호의 길이의 합을 $l _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle 6 \left( 1 + \sqrt{3} \right) \pi$②$\displaystyle 6 \left( 2 + \sqrt{3} \right) \pi$③$\displaystyle 12 \left( 1 + \sqrt{3} \right) \pi$④$\displaystyle 12 \left( 2 + \sqrt{3} \right) \pi$⑤$\displaystyle 12 \left( 1 + 2 \sqrt{3} \right) \pi$