정육각형 반원 급수

그림과 같이 정육각형 ${\mathrm{H}} _{1}$의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 ${\mathrm{H}} _{1}$의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 $S _{1}$, 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 ${\mathrm{H}} _{2}$라 하자. 정육각형 ${\mathrm{H}} _{2}$의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 ${\mathrm{H}} _{2}$의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 $S _{2}$, 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 ${\mathrm{H}} _{3}$이라 하자. 이와 같은 방법으로 정육각형 ${\mathrm{H}} _{n}$의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 ${\mathrm{H}} _{n}$의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 $S _{n}$, 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 ${\mathrm{H}} _{n+1}$이라 하자. 이때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}$의 값을 $S _{1}$을 이용하여 나타낸 것은? [4점]

①$\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3} S _{1}$②$\displaystyle \frac{3 - \sqrt{3}}{3} S _{1}$③$\displaystyle \frac{4 \sqrt{3}}{3} S _{1}$④$\displaystyle \frac{3 + \sqrt{3}}{3} S _{1}$⑤$\displaystyle {2 \sqrt{3}} S _{1}$