정의된 연산 전개

[출제의도] 곱셈공식을 이용하여 일차항의 계수를 구한다. $< A , B > = A ^{2} + AB + B ^{2}$의 양변에 $\left( A - B \right)$를 곱하면 $\left( A - B \right) \times < A , B > = \left( A - B \right) \left( A ^{2} + AB + B ^{2} \right)$$= A ^{3} - B ^{3}$ 이 식에 $A = x ^{2} + x + 1$, $B = x ^{2} + x$를 대입하면 $A - B = \left( x ^{2} + x + 1 \right) - \left( x ^{2} + x \right) = 1$이므로 $1 \times \left\langle x ^{2} + x + 1 , x ^{2} + x \right\rangle$$= \left( x ^{2} + x + 1 \right) ^{3} - \left( x ^{2} + x \right) ^{3}$ $\left\langle x ^{2} + x + 1 , x ^{2} + x \right\rangle$$= \left( x ^{2} + x + 1 \right) ^{3} - \left( x ^{2} + x \right) ^{3}$ 우변을 정리하면 $\left\{ x ^{2} + ( x + 1 ) \right\} ^{3} - ( x ^{2} + x ) ^{3}$ $= x ^{6} + 3 x ^{4} ( x + 1 ) + 3 x ^{2} ( x + 1 ) ^{2} + ( x + 1 ) ^{3} - ( x ^{2} + x ) ^{3}$ $( x + 1 ) ^{3}$ 이외의 항에는 차수가 이차 이상인 항들이 곱해져 있으므로 일차항이 나올 수 없다. 그러므로 $\left\langle x ^{2} + x + 1 , x ^{2} + x \right\rangle$의 전개식에서 $x$의 계수는 $( x + 1 ) ^{3}$의 $x$의 계수와 일치한다. $( x + 1 ) ^{3} = x ^{3} + 3 x ^{2} + 3 x + 1$에서 $x$의 계수는 $3$이다. 따라서 $\left\langle x ^{2} + x + 1 , x ^{2} + x \right\rangle$의 전개식에서 $x$의 계수는 $3$ [다른 풀이] $\left\langle x ^{2} + x + 1 , x ^{2} + x \right\rangle$ $= \left( x ^{2} + x + 1 \right) ^{2} + \left( x ^{2} + x + 1 \right) \left( x ^{2} + x \right) + \left( x ^{2} + x \right) ^{2}$ $= 3 x ^{4} + 6 x ^{3} + 6 x ^{2} + 3 x + 1$ 따라서 $x$의 계수는 $3$ [다른 풀이] 다항식 $\left\langle x ^{2} + x + 1 , x ^{2} + x \right\rangle$의 전개식에서 $x$의 계수를 구할 때, 이차항인 $x ^{2}$은 의미를 갖지 않는다. 그러므로 $\left\langle x ^{2} + x + 1 , x ^{2} + x \right\rangle$의 전개식에서 $x$의 계수와 $\left\langle x + 1 , x \right\rangle$의 전개식에서 $x$의 계수는 같다. $\left\langle x + 1 , x \right\rangle$의 전개식에서 $x$의 계수를 구하면 $\left\langle x + 1 , x \right\rangle$$= \left( x + 1 \right) ^{3} - x ^{3}$ $= x ^{3} + 3 x ^{2} + 3 x + 1 - x ^{3}$ $= 3 x ^{2} + 3 x + 1$ 따라서 $x$의 계수는 $3$