공통수학1이차방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정수근을 갖는 이차방정식

문제

두 자연수 pp와 qq가 모두 소수이고, xx에 관한 이차방정식 x2+8px−q2=0x ^{2} + 8 p x - q ^{2} = 0의 두 근 α\alpha와 β\beta가 모두 정수일 때, ∣α−β∣+p+q| \alpha - \beta | + p + q의 값은? ①32②34③36④38⑤40

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②

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해설

주어진 이차방정식 x2+8px−q2=0x ^{2} + 8 px - q ^{2} = 0에서 근과 계수의 관계에 의하여 α+β=−8p,αβ=−q2\alpha + \beta = - 8 p , \alpha \beta = - q ^{2} 그런데 α,β\alpha , \beta가 모두 정수이고, 두 근의 곱이 −q2- q ^{2}이므로 α,β\alpha , \beta가 q또는−qq \text{또는} - q, −1또는q2- 1 \text{또는} q ^{2}, 1또는−q21 \text{또는} - q ^{2}인 경우뿐이다. ⅰ) α=q,β=−q\alpha = q , \beta = - q 일 때 α+β=q+(−q)=0\alpha + \beta = q + ( - q ) = 0 (모순) ⅱ) α=−1,β=q2\alpha = - 1 , \beta = q ^{2} 일 때 α+β=−1+q2=−8p\alpha + \beta = - 1 + q ^{2} = - 8 p p>1p > 1이므로 −1+q2=−8p<0- 1 + q ^{2} = - 8 p < 0 즉, q2<1q ^{2} < 1 그런데 q>1q > 1이므로 q2>1q ^{2} > 1 (모순) ⅲ) α=1,β=−q2\alpha = 1 , \beta = - q ^{2} 일 때 α+β=1−q2=−8p\alpha + \beta = 1 - q ^{2} = - 8 p (1−q)(1+q)=−8p( 1 - q ) ( 1 + q ) = - 8 p 이를 만족하는 소수는 p=3,q=5p = 3 , q = 5 뿐이다. 따라서 이차방정식 x2+24x−25=0x ^{2} + 24 x - 25 = 0의 두 근은 1,−251 , - 25이므로 ∣α−β∣=26| \alpha - \beta | = 26 ∴∣α−β∣+p+q=26+3+5\therefore | \alpha - \beta | + p + q = 26 + 3 + 5 =34= 34

태그

#이차방정식의 정수근#소수

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