정수 수열 귀납적 정의

$\displaystyle {\begin{cases} a _{2} = a _{1} a _{3} + 1 & \cdots \cdots \text{㉠} \\ a _{3} = 2 a _{1} - 2 a _{2} & \cdots \cdots \text{㉡} \end{cases}}$ ㉡을 ㉠에 대입하면 $a _{2} = a _{1} \left( 2 a _{1} - a _{2} \right) + 1$ $\displaystyle \therefore a _{2} = \frac{2 a _{1} ^{2} + 1}{a _{1} + 1} = 2 \left( a _{1} - 1 \right) + \frac{3}{a _{1} + 1}$ 이때 $a _{1} + 1$이 $3$의 약수가 되어야 하므로 $\therefore a _{1} + 1 = - 3 , - 1 , 1 , 3$ 따라서 $a _{1}$의 최솟값 $m$은 $m = - 4$ 따라서 $a _{2} = - 11 , a _{3} = 3$이므로 $a _{9}$$= 2 a _{4} - a _{2}$ $= 2 \left( a _{2} a _{3} + 1 \right) - a _{2}$ $= 2 \left\{ \left( - 11 \right) \times 3 + 1 \right\} + 11$ $= - 53$