공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정십각형 한 변의 길이

문제

다음은 반지름의 길이가 11인 원에 내접하는 정오각형의 한 변의 길이를 aa라 할 때, 이 원에 내접하는 정십각형의 한 변의 길이를 aa를 써서 나타낸 과정이다.

그림과 같이 정오각형의 한 꼭짓점 A\mathrm{A}와 정십각형의 한 꼭짓점 B\mathrm{B}를 이으면 원의 지름이 된다. 이때, 지름 AB\mathrm{AB}와 정오각형의 한 변 CD\mathrm{CD}가 만나는 점을 E\mathrm{E}라 하자.

이때, 정십각형의 한 변의 길이를 xx라 하면, 이다. AC‾=\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = (가)

한편, 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 AC‾×BC‾=AB‾×CE‾\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \times \overline{BC} = \overline{AB} \times \overline{CE}이므로 (가) ⋅x=a⋯⋯⋯⋯⋯⋯㉠\cdot x = a \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \text{㉠}

이고, ㉠\text{㉠}의 식을 정리하면 x4−x ^{4} - (나) ⋅x2+a2=0⋯⋯㉡\cdot x ^{2} + a ^{2} = 0 \cdots \cdots \text{㉡}

이다. 따라서 ㉡\text{㉡}의 방정식을 풀면 □(다){\square {( \text{다} )}} 이다.

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)(나)(다)
①1−x2\displaystyle \sqrt{1 - x ^{2}}221+1−a2\displaystyle \sqrt{1 + \sqrt{1 - a ^{2}}}
② 1−x2\displaystyle \sqrt{1 - x ^{2}}442−4−a2\displaystyle \sqrt{2 - \sqrt{4 - a ^{2}}}
③ 4−x2\displaystyle \sqrt{4 - x ^{2}}221+1−a2\displaystyle \sqrt{1 + \sqrt{1 - a ^{2}}}
④4−x2\displaystyle \sqrt{4 - x ^{2}}442+4−a2\displaystyle \sqrt{2 + \sqrt{4 - a ^{2}}}
⑤4−x2\displaystyle \sqrt{4 - x ^{2}}442−4−a2\displaystyle \sqrt{2 - \sqrt{4 - a ^{2}}}
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⑤

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해설

[출제의도] 고차방정식을 이용하여 정십각형의 한 변의 길이를 추론하기 그림과 같이 정오각형의 한 꼭짓점 A\mathrm{A}와 정십각형의 한 꼭짓점 B\mathrm{B}를 이으면 원의 지름이 된다. 이때, 지름 AB\mathrm{AB}와 정오각형의 한 변 CD\mathrm{CD}가 만나는 점을 E\mathrm{E}라 하자.

이때, 정십각형의 한 변의 길이를 xx라 하면, AC‾=4−x2\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \mathit{=} \sqrt{4 - x ^{2}} 이다. 한편, 삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 12×AC‾×BC‾=12×AB‾×CE‾\displaystyle \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AC}} \times \overline{BC} = \frac{1}{2} \times \overline{AB} \times \overline{CE}이므로 4−x2\displaystyle \sqrt{4 - x ^{2}}⋅x=a⋯⋯㉠\cdot x = a \cdots \cdots \text{㉠}이고, ㉠\text{㉠}의 식을 정리하면 x4−x ^{4} -44x2+a2=0⋯⋯㉡x ^{2} + a ^{2} = 0 \cdots \cdots \text{㉡}이다. ㉡\text{㉡}의 방정식을 풀면, x2=2±4−a2\displaystyle x ^{2} = 2 \pm \sqrt{4 - a ^{2}}이다. 이때, 0<x<10 < x < 1이어야 하므로 x2=2−4−a2\displaystyle x ^{2} = 2 - \sqrt{4 - a ^{2}}에서 x=x =2−4−a2\displaystyle \sqrt{2 - \sqrt{4 - a ^{2}}}이다. ∴ (가) 4−x2\displaystyle \sqrt{4 - x ^{2}}, (나) 44, (다) 2−4−a2\displaystyle \sqrt{2 - \sqrt{4 - a ^{2}}}

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