미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사영 사면체 부피 최대

문제

좌표공간에서 평면 x+2y+2z=54x + 2 y + 2 z = 54 위의 세 점 A(54,0,0)\mathrm{A} ( 54 , 0 , 0 ), B(0,27,0)\mathrm{B} ( 0 , 27 , 0 ), C(0,0,27)\mathrm{C} ( 0 , 0 , 27 )을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC\mathrm{A} BC의 내부에 점 P(x,y,z)\mathrm{P} ( \mathit{x} , y , z )가 있다. 점 P\mathrm{P}의 xyxy평면 위로의 정사영을 Q,yz\mathrm{Q} , \mathit{yz}평면 위로의 정사영을 R,\mathrm{R} , zxzx평면 위로의 정사영을 S\mathrm{S}라 하자. QR‾=QS‾\displaystyle \mathrm{\overline{QR}} = \overline{QS}일 때, 사면체 QPRS\mathrm{Q} PRS의 부피의 최댓값을 구하시오. [4점]

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해설

사면체 PQRS\mathrm{P} QRS의 부피는 VV=13×△PRS×P‾Q\displaystyle = \frac{1}{3} \times \triangle \mathrm{P} RS \times \overline{\mathrm{P}} Q=13×(12×y×x)×z\displaystyle = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times y \times x \right) \times z 한편, Q‾R=Q‾S\displaystyle \overline{\mathrm{Q}} R ^{=} \overline{\mathrm{Q}} S이므로 x2+z2=y2+z2x ^{2} + z ^{2} = y ^{2} + z ^{2} ∴x=y\therefore x = y ∴V\therefore V=16x2z\displaystyle = \frac{1}{6} x ^{2} z=112x2(54−3x)\displaystyle = \frac{1}{12} x ^{2} ( 54 - 3 x ) (∵x+2y+2z=54\because x + 2 y + 2 z = 54) =14x2(18−x)\displaystyle = \frac{1}{4} x ^{2} ( 18 - x ) V′=34x(12−x)=0\displaystyle V' = \frac{3}{4} x ( 12 - x ) = 0에서 x=12x = 12일 때, 극대이자 최대가 된다. 따라서, 부피의 최댓값은 14×122×6=216\displaystyle \frac{1}{4} \times 12 ^{2} \times 6 = 216

태그

#최댓값#정사영

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