정사면체와 구, 정사영

[출제의도] 공간에서 두 평면이 이루는 각의 크기를 구하여 정사영의 넓이를 구할 수 있는가? 구 $S$의 중심, 즉 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 외심을 $\mathrm{O}$라 하면 직각삼각형 $\mathrm{ABO}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 6 \sqrt{3}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BO}} = 6$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AO}} = 6 \sqrt{2}$이다.

이때 점 $\mathrm{P}$가 구 $S$ 위에 있으므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} = 6$ 즉, 삼각형 $\mathrm{OBP}$가 이등변삼각형이므로 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 점 $\mathrm{H}$는 선분 $\mathrm{BP}$의 중점이다. 한편, $\triangle$$\mathrm{ABO} \backsim \triangle OBH$이므로 $\displaystyle 6 : 6 \sqrt{3} = \mathrm{\overline{BH}} : 6$ 에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} = 2 \sqrt{3}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AB}} - \overline{BP}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AB}} - 2 \times {\mathrm{\overline{BH}}}$$\displaystyle = 6 \sqrt{3} - 2 \times 2 \sqrt{3}$$\displaystyle = 2 \sqrt{3}$ 이므로 삼각형 $\mathrm{PQR}$는 한 변의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$인 정삼각형이다. 즉, 삼각형 $\mathrm{PQR}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} = 3 \sqrt{3}$ 한편, 다음 그림과 같이 평면 $\alpha$와 평면 $\mathrm{PQR}$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\mathrm{\angle} AOP = \theta$이다.

이때 직각삼각형 $\mathrm{OBG}$에서 $\displaystyle \sin \left( \mathrm{\angle} BOH \right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\displaystyle \cos \left( \mathrm{\angle} BOH \right) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ 이고, $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} - 2 \mathrm{\angle} BOH$이므로 $\cos \theta$$\displaystyle = \cos \left( \frac{\pi}{2} - 2 \mathrm{\angle} BOH \right)$ $= \sin \left( 2 \mathrm{\angle} BOH \right)$ $= 2 \sin \left( \mathrm{\angle} BOH \right) \cos \left( \mathrm{\angle} BOH \right)$ $\displaystyle = 2 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ $\displaystyle = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 따라서 구하는 정사영의 넓이는 $k$$\displaystyle = 3 \sqrt{3} \times \cos \theta$$\displaystyle = 3 \sqrt{3} \times \frac{2 \sqrt{2}}{3}$$\displaystyle = 2 \sqrt{6}$ 이므로 $\displaystyle k ^{2} = \left( 2 \sqrt{6} \right) ^{2} = 24$