정사면체와 반구

[출제의도] 이해능력-공간도형과 공간좌표

선분 $CD$의 중점이 반구의 밑면의 중심이며 삼각형 $BCO$는 $\displaystyle \angle BOC = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형이고 $\displaystyle {\overline{BC}} = 6$, $\displaystyle {\overline{CO}} = 3$이므로 $\displaystyle {\overline{OB}} = \sqrt{36 - 9} = 3 \sqrt{3}$이다. 따라서 반구의 반지름의 길이는 $\displaystyle 3 \sqrt{3}$이다. 삼각형 $OHC$는 $\displaystyle \angle HCO = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형이고 $\displaystyle {\overline{OH}} = 3 \sqrt{3}$, $\displaystyle {\overline{OC}} = 3$ 이므로 $\displaystyle {\overline{CH}} = \sqrt{27 - 9} = 3 \sqrt{2}$ 한편, 선분 $AB$는 반구의 밑면과 평행하므로 선분 $AB$의 중점을 $N$이라 하면 $\displaystyle {\overline{OB}} = 3 \sqrt{3}$, $\displaystyle {\overline{BN}} = 3$이고 삼각형 $OBN$은 직각삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{ON}} = \sqrt{27 - 9} = 3 \sqrt{2}$ 따라서 세 점 $A , B , H$는 모두 반구의 밑면과 평행한 한 평면 위에 있으므로 $\displaystyle {\overline{CH}} \perp {\overline{BH}}$이다. 따라서, 삼각형 $CBH$는 직각삼각형이고, $\displaystyle {\overline{CB}} = 6$, $\displaystyle {\overline{CH}} = 3 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{BH}} = \sqrt{36 - 18} = 3 \sqrt{2}$ $\displaystyle {\overline{AH}} \perp {\overline{CH}}$이므로 삼각형 $AHC$는 직각삼각형이다. $\displaystyle {\overline{CH}} = 3 \sqrt{2}$, $\displaystyle {\overline{AC}} = 6$이므로 $\displaystyle {\overline{AH}} = \sqrt{36 - 18} = 3 \sqrt{2}$이고 $\displaystyle {\overline{AB}} = 6$이므로 $\displaystyle {\overline{AB}} ^{2} = {\overline{AH}} ^{2} + {\overline{BH}} ^{2}$에서 삼각형 $AHB$는 직각삼각형이다. $\displaystyle {\overline{AM}} = 3 \sqrt{3}$, $\displaystyle {\overline{HM}} = 3$이므로 $\displaystyle {\overline{AM}} ^{2} = {\overline{AH}} ^{2} + {\overline{HM}} ^{2}$에서 삼각형 $AHM$은 직각삼각형이다. 따라서 $\angle AHM = \theta$라 하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{HM}{AM} = \frac{1}{\sqrt{3}}$이므로 $\displaystyle {\vec{AM}} \bullet {\vec{HM}} = 3 \sqrt{3} \times 3 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 9$