기하공간벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사면체 내적 합 극한

문제

그림과 같이 한 모서리의 길이가 66인 정사면체 OABC\mathrm{OABC}가 있다. 점 C\mathrm{C}에서 모서리 AB\mathrm{AB}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 할 때, 선분 HC\mathrm{H} C를 nn등분하여 각 분점을 차례로 P0\mathrm{P} _{0}(=H= \mathrm{H}), P1\mathrm{P} _{1}, P2\mathrm{P} _{2}, ⋯\cdots, Pn−1{\mathrm{P}} _{n-1}, Pn{\mathrm{P}} _{n}(=C= \mathrm{C})라 하자. Sn=∑k=1nOH⃗⋅OP⃗k\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{n} {\mathrm{\vec{OH}} \cdot {\mathrm{\vec{OP}} _{\mathit{k}}}}라 할 때, lim⁡n→∞Snn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{S _{n}}{n}의 값은? (단, nn은 22 이상의 자연수이다.) [4점]

①92\displaystyle \frac{9}{2}②99③272\displaystyle \frac{27}{2}④1818⑤452\displaystyle \frac{45}{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 공간벡터의 내적을 이용하여 극한값을 구하는 문제를 해결한다. ∠OHC=θ\angle \mathrm{OHC} = \theta라 하고 점 O\mathrm{O}에서 밑면 ABC\mathrm{ABC}에 내린 수선의 발을 G\mathrm{G}라 하면 점 G\mathrm{G}는 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 무게중심이므로 HG‾=13OH‾\displaystyle \mathrm{\overline{HG}} = \frac{1}{3} \overline{OH} 따라서 cos⁡θ=13\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{3} SnS _{n}=∑k=1nOH⃗⋅OPk⃗\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \mathrm{\vec{OH}} \cdot \mathrm{\vec{OP _{\mathit{k}}}}=∑k=1nOH⃗⋅(OH⃗+HPk⃗)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \mathrm{\vec{OH}} \cdot \left( \mathrm{\vec{OH}} + {\vec{HP _{\mathit{k}}}} \right) =n∣OH⃗∣2+∑k=1nOH⃗⋅HPk⃗\displaystyle \left. = n \left| \mathrm{\vec{OH}} \right| ^{2} + \mathit{\sum\limits} _{k = 1} ^{n} \mathrm{\vec{OH}} \cdot {\vec{HP _{\mathit{k}}}} \right.=n∣OH⃗∣2−∑k=1nHO⃗⋅HPk⃗\displaystyle \left. = n \left| \mathrm{\vec{OH}} \right| ^{2} - \mathit{\sum\limits} _{k = 1} ^{n} \mathrm{\vec{HO}} \cdot {\vec{HP _{\mathit{k}}}} \right. =n∣OH⃗∣2−∑k=1n∣HO⃗∣∣HPk⃗∣cos⁡θ\displaystyle \left. = n \left| \mathrm{\vec{OH}} \right| ^{2} - \mathit{\sum\limits} _{k = 1} ^{n} \left| \mathrm{\vec{HO _{}}} \right| \left| {\vec{HP _{\mathit{k}}}} \right| \cos \theta \right. =27n−∑k=1n(33)2k3n\displaystyle = 27 n - \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{( 3 \sqrt{3} ) ^{2} k}{3 n}=27n−9n∑k=1nk\displaystyle = 27 n - \frac{9}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n} k =27n−9(n+1)2\displaystyle = 27 n - \frac{9 ( n + 1 )}{2}=452n−92\displaystyle = \frac{45}{2} n - \frac{9}{2} 따라서 lim⁡n→∞Snn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{S _{n}}{n}}==lim⁡n→∞(452−92n)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left( \frac{45}{2} - \frac{9}{2 n} \right)=452\displaystyle = \frac{45}{2}

태그

#내적#수열의 극한

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