기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사면체 이면각

문제

한 모서리의 길이가 44인 정사면체 ABCD\mathrm{ABCD}에서 선분 AD\mathrm{AD}를 1:31 : 3으로 내분하는 점을 P\mathrm{P}, 3:13 : 1로 내분하는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 두 평면 PBC\mathrm{PBC}와 QBC\mathrm{QBC}가 이루는 예각의 크기를 θ\theta라 할 때, cos⁡θ=qp\displaystyle \cos \theta = \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 이면각의 정의를 이해하여 이면각의 크기를 구한다.

두 선분 BC\mathrm{BC}, AD\mathrm{AD}의 중점을 각각 M\mathrm{M}, N\mathrm{N}이라 하면, AM‾=DM‾=23\displaystyle \mathrm{\overline{AM}} = {\overline{DM}} = 2 \sqrt{3}이므로 MN‾=22\displaystyle \mathrm{\overline{MN}} = 2 \sqrt{2} PN‾=QN‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{PN}} = {\overline{QN}} = 1이므로 PM‾=QM‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{PM}} = {\overline{QM}} = 3 θ=∠PMQ\theta = \mathrm{\angle} PMQ이고, PQ‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = 2이므로 cos⁡θ=32+32−222×3×3=79\displaystyle \cos \theta = \frac{3 ^{2} + 3 ^{2} - 2 ^{2}}{2 \times 3 \times 3} = \frac{7}{9}, 따라서 p+q=16p + q = 16

태그

#이면각#정사면체#코사인법칙

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