정사면체 두 직선 각

[출제의도] 두 직선이 이루는 각의 크기를 구할 수 있는지 묻는 문제이다. 선분 $\mathrm{AN}$의 중점을 $\mathrm{P}$라 하면 두 직선 $\mathrm{CN}$, $\mathrm{MP}$가 서로 평행하므로 두 직선 $\mathrm{BM}$, $\mathrm{CN}$이 이루는 각의 크기는 두 직선 $\mathrm{BM}$, $\mathrm{MP}$가 이루는 각의 크기와 같다. 이때, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 4$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{BM}} = 2 \sqrt{3}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{MP}} = \sqrt{3}$이고, 직각삼각형 $\mathrm{BNP}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BP}} = \sqrt{13}$이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{BMP}$에서 코사인법칙에 의해 $\cos \theta$$\displaystyle \mathrm{=} \left| \frac{{{\overline{BM}} ^{2} + {\overline{MP}} ^{2}} - {\overline{BP}} ^{2}}{\mathrm{2} {\overline{BM}} \cdot \overline{MP}} \right|$$\displaystyle = \frac{1}{6}$ $\therefore$ $p + q = 6 + 1 = 7$