기하공간벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사면체 벡터 최댓값

문제

한 모서리 길이가 4인 정사면체 ABCD\mathrm{ABCD}에서 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 무게중심을 O\mathrm{O}, 선분 AD\mathrm{AD}의 중점을 P\mathrm{P}라 하자. 정사면체 ABCD\mathrm{ABCD}의 한 면 BCD\mathrm{BCD} 위의 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 두 벡터 OQ⃗\mathrm{\vec{OQ}}와 OP⃗\mathrm{\vec{OP}}가 서로 수직일 때, ∣PQ⃗∣\mathrm{\left| {\vec{PQ}} \right|}의 최댓값은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 벡터의 수직과 내적을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 벡터의 최댓값을 구할 수 있는가?

점 Q\mathrm{Q}는 삼각형 BCD\mathrm{BCD}의 경계를 포함한 내부의 점이고 OP⃗∙OQ⃗=0\mathrm{\vec{OP}} \bullet \vec{OQ} = 0을 만족시키는 점이다. 그런데 ∣PQ⃗∣\mathrm{\left| \vec{PQ} \right|}가 최대가 되려면 점 Q\mathrm{Q}는 선분 DB\mathrm{DB}또는 선분 DC\mathrm{DC}위에 있어야 한다. 선분 DB\mathrm{DB}위의 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. DA⃗=a⃗\mathrm{\vec{DA}} = \mathit{\vec{a}}, DB⃗=b⃗\mathrm{\vec{DB}} = \mathit{\vec{b}}, DC⃗=c⃗\mathrm{\vec{DC}} = \mathit{\vec{c}}라 하면 DP⃗=12a⃗\displaystyle \mathrm{\vec{DP}} = \frac{\mathit{1}}{2} \vec{a}, DQ⃗=kb⃗\mathrm{\vec{DQ}} = \mathit{k} \vec{b}(0<k<1)( 0 < k < 1 )이다. 또 ∣a⃗∣2=∣b⃗∣2=∣c⃗∣2=16| \vec{a} | ^{2} = | \vec{b} | ^{2} = | \vec{c} | ^{2} = 16 a⃗∙b⃗=b⃗∙c⃗=c⃗∙a⃗=8\vec{a} \bullet \vec{b} = \vec{b} \bullet \vec{c} = \vec{c} \bullet \vec{a} = 8이므로 OP⃗∙OQ⃗\mathrm{\vec{OP}} \bullet \vec{OQ} =(DP⃗−DO⃗)∙(DQ⃗−DO⃗)\mathrm{(} \vec{DP} - \vec{DO} ) \bullet ( \vec{DQ} - \vec{DO} ) =(12a⃗−a⃗+b⃗+c⃗3)∙(kb⃗−a⃗+b⃗+c⃗3)\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \right) \bullet \left( k \vec{b} - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \right) =−56k+23\displaystyle = - \frac{5}{6} k + \frac{2}{3} −56k+23=0\displaystyle - \frac{5}{6} k + \frac{2}{3} = 0에서 k=45\displaystyle k = \frac{4}{5} 따라서 ∣PQ⃗∣\mathrm{\left| \vec{PQ} \right|}의 최댓값은 ∣PQ⃗∣=∣OQ⃗−OP⃗∣\mathrm{\left| \vec{PQ} \right|} = | \vec{OQ} - \vec{OP} | =∣(−13a⃗+715b⃗−13c⃗)−(16a⃗−13b⃗−13c⃗)∣\displaystyle = \left| \left( - \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{7}{15} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c} \right) - \left( \frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c} \right) \right| =∣−12a⃗+45b⃗∣\displaystyle = \left| - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b} \right| 이때, ∣−12a⃗+45b⃗∣2\displaystyle \left| - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b} \right| ^{2}=(−12a⃗+45b⃗)∙(−12a⃗+45b⃗)\displaystyle = \left( - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b} \right) \bullet \left( - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{4}{5} \vec{b} \right) =14∣a⃗∣2−45a⃗∙b⃗+1625∣b⃗∣2\displaystyle = \frac{1}{4} | \vec{a} | ^{2} - \frac{4}{5} \vec{a} \bullet \vec{b} + \frac{16}{25} | \vec{b} | ^{2} =14×16−45×8+1625×16\displaystyle = \frac{1}{4} \times 16 - \frac{4}{5} \times 8 + \frac{16}{25} \times 16 =(145)2\displaystyle = \left( \frac{14}{5} \right) ^{2} 이므로 구하는 최댓값은 145\displaystyle \frac{14}{5}이다. ∴p+q=19\therefore p + q = 19

태그

#벡터의 내적#정사면체

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