기하공간벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정사면체 벡터

문제

한 모서리의 길이가 66\displaystyle 6 \sqrt{6}인 정사면체 ABCD\mathrm{ABCD}에 대하여 등식 PB⃗+PC⃗+PD⃗=2PA⃗\mathrm{\vec{PB}} + \vec{PC} + \vec{PD} = 2 \vec{PA} 를 만족시키는 점 P\mathrm{P}가 있다. 삼각형 BCD\mathrm{BCD}의 무게중심을 G\mathrm{G}라 할 때, 선분 PG\mathrm{PG}의 길이를 구하여라. [3점]

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24

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해설

PB⃗+PC⃗+PD⃗=2PA⃗\mathrm{\vec{PB}} + \vec{PC} + \vec{PD} = 2 \vec{PA} 3⋅PB⃗+PC⃗+PD⃗3=2PA⃗\displaystyle \mathrm{3} \cdot \frac{\vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD}}{3} = 2 \vec{PA} 3PG⃗=2PA⃗\mathrm{3} \vec{PG} = 2 \vec{PA} ∴ PG⃗=23PA⃗\displaystyle \mathrm{\vec{PG}} = \frac{2}{3} \vec{PA}

∴ PG‾=2×AG‾\displaystyle \overline{\mathrm{PG}} = 2 \times \overline{\mathrm{AG}}

위 그림에서 AG‾\displaystyle \mathrm{\overline{AG}}=(66)2−(62)2=12\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{( 6 \sqrt{6} ) ^{2} - ( 6 \sqrt{2} ) ^{2}} = 12 ∴ PG‾=2×AG‾\displaystyle \overline{\mathrm{PG}} = 2 \times \overline{\mathrm{AG}}=24= 24

태그

#벡터의 연산#무게중심

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