정삼각형과 원 등비급수

그림과 같이 한 변의 길이가 $3$인 정삼각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}$의 무게중심을 $\mathrm{A} _{2}$, 점 $\mathrm{A} _{2}$를 지나는 원과 두 변 $\mathrm{A} _{1} B _{1}$, $\mathrm{A} _{1} C _{1}$의 접점을 각각 $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{C} _{2}$라 하자. 호 $\mathrm{A} _{2} B _{2}$, 선분 $\mathrm{B} _{2} B _{1}$, 선분 $\mathrm{B} _{1} A _{2}$와 호 $\mathrm{A} _{2} C _{2}$, 선분 $\mathrm{C} _{2} C _{1}$, 선분 $\mathrm{C} _{1} A _{2}$로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}$의 무게중심을 $\mathrm{A} _{3}$, 점 $\mathrm{A} _{3}$을 지나는 원과 두 변 $\mathrm{A} _{2} B _{2}$, $\mathrm{A} _{2} C _{2}$의 접점을 각각 $\mathrm{B} _{3}$, $\mathrm{C} _{3}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에 호 $\mathrm{A} _{3} B _{3}$, 선분 $\mathrm{B} _{3} B _{2}$, 선분 $\mathrm{B} _{2} A _{3}$과 호 $\mathrm{A} _{3} C _{3}$, 선분 $\mathrm{C} _{3} C _{2}$, 선분 $\mathrm{C} _{2} A _{3}$으로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 그림 $R _{2}$에서 삼각형 $\mathrm{A} _{3} B _{3} C _{3}$의 무게중심을 $\mathrm{A} _{4}$, 점 $\mathrm{A} _{4}$를 지나는 원과 두 변 $\mathrm{A} _{3} B _{3}$, $\mathrm{A} _{3} C _{3}$의 접점을 각각 $\mathrm{B} _{4}$, $\mathrm{C} _{4}$라 하자. 그림 $R _{2}$에 호 $\mathrm{A} _{4} B _{4}$, 선분 $\mathrm{B} _{4} B _{3}$, 선분 $\mathrm{B} _{3} A _{4}$와 호 $\mathrm{A} _{4} C _{4}$, 선분 $\mathrm{C} _{4} C _{3}$, 선분 $\mathrm{C} _{3} A _{4}$로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 색칠하고 추가하여 얻은 그림을 $R _{3}$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림을 $R _{n}$, 그림 $R _{n}$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle \frac{1}{16} ( 21 \sqrt{3} - 4 \pi )$②$\displaystyle \frac{1}{16} ( 7 \sqrt{3} - 2 \pi )$③$\displaystyle \frac{1}{8} ( 21 \sqrt{3} - 4 \pi )$④$\displaystyle \frac{1}{8} ( 7 \sqrt{3} - 2 \pi )$⑤$\displaystyle \frac{1}{8} ( 21 \sqrt{3} - 2 \pi )$