기하평면벡터수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정삼각형과 정사각형 내적

문제

평면 위에 한 변의 길이가 11인 정삼각형 ABC\mathrm{A} BC와 정사각형 BDEC\mathrm{B} DEC가 그림과 같이 변 BC\mathrm{B} C를 공유하고 있다. 이 때, AC⃗⋅AD⃗\vec{\mathrm{AC}} \cdot \vec{\mathrm{AD}}의 값은? [3점]

①11②2\displaystyle {\sqrt{2}}③3\displaystyle {\sqrt{3}}④1+22\displaystyle \frac{1 + \sqrt{2}}{2}⑤1+32\displaystyle \frac{1 + \sqrt{3}}{2}

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⑤

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해설

점 A\mathrm{A}를 원점으로 하고 직선 AB\mathrm{A} B를 xx축으로 하는 좌표평면을 생각하면 A⃗C⋅A⃗D=(12,32)⋅(1+32,12)\displaystyle \vec{\mathrm{A}} C \cdot \vec{\mathrm{A}} D = \left( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \cdot \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2} \right) =12+34+34\displaystyle = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}=12+32\displaystyle = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}=1+32\displaystyle = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}

태그

#내적#좌표

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