대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정삼각형을 나눈 작은 삼각형 넓이의 합

문제

넓이가 363363인 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}에서 선분 BC\mathrm{BC}의 중점을 P0\mathrm{P} _{0}라 하고, 선분 P0A\mathrm{P} _{0} A를 121121등분한 점과 끝점을 P0\mathrm{P} _{0}로부터 차례로 P0,P1,P2,⋯ ,P120,P121=A\mathrm{P} _{0} , P _{1} , P _{2} , \cdots , P _{120} , P _{121} = A 라 하자. 점 Pk(k=1,2,3,⋯ ,120){\mathrm{P}} _{k} ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots , 120 )를 지나고 직선 P0A\mathrm{P} _{0} A에 수직인 직선이 선분 AB\mathrm{AB}와 만나는 점을 Bk{\mathrm{B}} _{k}라 하고, 선분 AC\mathrm{AC}와 만나는 점을 Ck{\mathrm{C}} _{k}라 하자. 삼각형 Pk−1BkCk(k=1,2,3,⋯ ,120){\mathrm{P}} _{k - 1} {\mathrm{B}} _{k} {\mathrm{C}} _{k} ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots , 120 )의 넓이를 aka _{k}라 할 때, ∑k=1120ak\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{120} a _{k}의 값은? ①177177②178178③179179④180180⑤181181

정답 보기
④ 180180

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

삼각형 Pk−1BkCk{\mathrm{P}} _{k - 1} {\mathrm{B}} _{k} {\mathrm{C}} _{k}의 높이는 삼각형 ABC\mathrm{ABC}의 높이의 1121\displaystyle \frac{1}{121}이고, 밑변 BkCk{\mathrm{B}} _{k} {\mathrm{C}} _{k}는 BkCk‾:BC‾=(1−k121):1\displaystyle \overline{{\mathrm{B}} _{k} {\mathrm{C}} _{k}} : \overline{\mathrm{BC}} = \left( 1 - \frac{k}{121} \right) : 1에서 BkCk‾=(1−k121)BC‾\displaystyle \overline{\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{k}}} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{k}}}} = \left( 1 - \frac{k}{121} \right) \overline{\mathrm{BC}} 이다. 따라서 삼각형 Pk−1BkCk{\mathrm{P}} _{k - 1} {\mathrm{B}} _{k} {\mathrm{C}} _{k}의 면적 aka _{k}는 ak=1121×(1−k121)×363\displaystyle a _{k} = \frac{1}{121} \times \left( 1 - \frac{k}{121} \right) \times 363=3(1−k121)\displaystyle = 3 \left( 1 - \frac{k}{121} \right) 따라서 ∑k=1120ak=∑k=1120(3−3121k)=∑k=11203−3121∑k=1120k\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{120} a _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{120} \left( 3 - \frac{3}{121} k \right) = \sum\limits _{k = 1} ^{120} 3 - \frac{3}{121} \sum\limits _{k = 1} ^{120} k=360−3121×12×120×121\displaystyle = 360 - \frac{3}{121} \times \frac{1}{2} \times 120 \times 121=180= 180

태그

#시그마#닮음#등차수열의 합

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 수열의 합 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로