정삼각형 원 배열

[출제의도] 도형에서 수열의 규칙성을 발견할 수 있다. 가장 안 쪽 첫 번째 정삼각형의 변에 나열된 원의 개수는 $( 4 + 3 + 2 )$개 두 번째 정삼각형의 변에 나열된 원의 개수는 $( 7 + 6 + 5 )$개 세 번째 정삼각형의 변에 나열된 원의 개수는 $( 10 + 9 + 8 )$개 … $9$번째 정삼각형의 변에 나열된 원의 개수는 $( 28 + 27 + 26 )$개 따라서 $9$번째 정삼각형까지 나열된 원의 총 개수는 $( 4 + 3 + 2 ) + ( 7 + 6 + 5 ) + \cdots + ( 28 + 27 + 26 )$ 따라서, $10$번째 정삼각형의 맨 위의 꼭지점에 적힌 수는 $1 + ( 2 + 3 + 4 + \cdots + 26 + 27 + 28 )$$\displaystyle = \frac{28 \cdot 29}{2} = 406$ <별해> $( n + 1 )$번째 정삼각형의 변에 나열된 원의 개수는 $n$번째 정삼각형의 변에 나열된 원의 개수에서 $9$를 더한 개수와 같다. 즉, $n$번째 정삼각형의 변에 나열된 원의 개수를 $a _{n}$이라 하면 수열$\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $9$이고, 공차가 $9$인 등차수열이다. ∴ $a _{n} = 9 n$ 따라서 $10$번째 정삼각형의 맨 위의 꼭지점에 적힌 수는 $\displaystyle 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{9} 9 k = 1 + 9 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = 406$